| 研究課題/領域番号 |
15H02048
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
寺杣 友秀 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50192654)
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| 研究分担者 |
齋藤 秀司 東京工業大学, 大学院理工学研究科(理学系), 教授 (50153804)
ガイサ トーマス 立教大学, 理学部, 教授 (30571963)
花村 昌樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (60189587)
松本 圭司 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30229546)
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
木村 健一郎 筑波大学, 数理物質系, 講師 (50292496)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | モチーフ / 周期積分 / 代数的サイクル / 超幾何関数 |
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| 研究実績の概要 |
代数多様体の周期積分に関する研究については、寺杣と松本によって、2次元射影空間内の6本の直線で分岐する3重被覆によって得られるＫ３曲面とその上の楕円曲線のペアから生まれる混合ホッジ構造に関する周期写像の定義と、周期写像の逆写像のテータ関数を用いた表示が得られた。これまでに得られた微分方程式の形の不変量より詳しく、Ｋ３格子の構造とそれにかかわる混合ホッジ構造の拡大不変量を周期写像の逆写像に応用できる
様に精密に定義した。
また寺杣、花村、木村により、混合テイトモチーフのホッジ実現について、これまでに確立された、対数積分の収束性と一般化されたコーシーの定理の証明を踏まえさらに微分次数圏の枠組みのなかで、ベイリンソンの意味での混合ホッジ複体をこれまでの結果を用いて構成した。これらが実際にブロックとクリスによる構成と一致することを示す作業に現在入っている。
齋藤秀司氏によりＡ１ホモトピー不変では必ずしもないチャウ群と関連した不変量と相互法則の研究がなされ、その成果がブルノ・カーン、山崎隆夫氏との共著論文として出版された。これはアーベル多様体を係数とするＫ群とボエボツキー圏におけるある種の拡大の微分次数準同型の群の間の同型を確立した。これは染川氏によって定義されたＫ群と関連している。
またトーマス・ガイサー氏はエタール・モチービック・コホモロジーの構造に関して、一意可徐部分の次数のおおきなところに関する消滅定理、標数と素な部分の捩じれ可徐部分の有限性と幾何学的不変性、標数準素部分のビット環上の有限生成などを含む構造定理を確立し、さらにエタール・モチビック・コホモロジーのポントリャーギン双対性に関して著しい結果をあげ論文として出版された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ベイリンソンのレギュレーターは高次チャウ群に対する周期積分としてとらえることができる。一般には高次チャウ群の元を構成して、その周期がよくわかることが研究を開始するために必要不可欠であるが、そのような例を朝倉政典氏、大坪紀之氏によって見つけられた。該当年度ではさらにその特殊化としてとらえることができる場合で、フェルマー曲面の古典的なサイクルとしてとらえられる場合を考察した。とくにガウスのガンマの2倍公式と3倍公式より現れる代数的サイクルの場合はさらに精密な計算ができることが期待されるが、実際に2倍公式より生まれるサイクルに関してレギュレーターの計算に成功した。その結果レギュレーターは指数変数に関する有理数上では対数関数の有理数での値と関連する新しいタイプの正則関数の形にかけることがわかった。
３F２の超幾何関数の１における値はベータ関数の一般化として一番基本的なもので多くの関係式が知られているが、その対称性について考察し、実際に６次対称群の外部自己同型を用いて、あらわされることを発見した。これは３F２において自明に見つかる3次と2次の対称群の対称性と、射影直線上の5点のモジュライの対称性からくる5次の対称群の対称性を考えるとき、それらのガンマ関数を法として生成する対称性を簡明に記述する仕方を与える。
この対称性を用いることにより、セルバーグモチーフの行列式があるフェルマーモチーフと代数的対応を用いて同型であることが結論される。これは2次元以上でヴェイユ・ホッジ・サイクルの類似を考えたときの代数性の非自明な例を与える点で新しいものである。
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| 今後の研究の推進方策 |
2次元のセルバーグモチーフで用いられた手法は、アーベル多様体のヴェイユ・ホッジ・サイクルの構成には有効ではない。これについては曲線のアーベルヤコビ写像の幾何学が有用であることが観察されている。ヤコビアンの部分アーベル多様体の交叉が一般的になっているかどうかがここでおおきな問題となっているが、様々な写像は無限小的に解析することが可能であり、この交叉に関するベルチーニタイプの一般性性が大きなカギとなるであろうと推測される。
またモジュラス付きのチャウ群を用いることにより従来とらえきれなかったところをとらえられ新しい不変量が見つけられつつある。これらと関連して周期積分に関して今後も新しい不変量が得られることが期待される。これによって今まで見失われていた新たな不変量、例えばレギュレータ写像の精密化などが見つけられることが期待される。
多重ゼータの深さによるフィルトレーションについては、多くの手がかりがみつかりつつあるが、決定的な結果にいたっていない。こちらの研究をさらに今後すすめる。
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