| 研究課題/領域番号 |
15H02050
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
辻 雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40252530)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | p進表現 / Higgs束 / 整p進Hodge理論 / p進Simpson対応 |
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| 研究実績の概要 |
前年度の研究により，生成ファイバーのlog構造が正規交叉因子から定まるlog smoothな環の場合の有理係数局所p進Simpson対応が完成した．これは幾何的基本群の一般化表現に関する理論である．今年度は，数論的基本群のp進表現に関するR.Liu, X.Zhuの最近の研究に触発され，数論的基本群の一般化表現に対する有理係数局所p進Simpson対応の類似を研究した．本科研費を用いて１週間フランスの研究所IHESに滞在し，Ahmed Abbes氏と本研究について研究討論を行った．幾何的基本群の場合にはすべての表現は扱えなかったが，数論的基本群の場合には，すべての一般化表現のなす圏が，円分拡大のガロア群作用をもつベキ零Higgs束のなす圏と圏同値になるという簡明な結果が得られた．Bhatt-Morrow-Shcolze(BMS)の定数係数に対する整p進Hodge理論の整crystalline p進エタール層に係数をもつ場合への拡張についての前年度の研究成果をKruen（ドイツ）およびBedlewo（ポーランド）で開催された国際研究集会で発表した．後者の渡航費は本科研費による．今年度は，上記研究会集会参加の機会を利用して，M.Morrowと共同で，BMSの整p進Hodge理論の係数理論の構築を目標に，一般のFrobenius付きAinf表現について研究を進めた．一般の場合にも枠付き周期環への降下を用いて「ずらし」局所ガロアコホモロジーの計算が可能であることや，表現に対応するFrobenius付き接続付き加群が必ず存在することなどの興味深い結果を得た．平成３０年９月にMorrow氏を日本に招聘し，これらの研究成果をまとめる作業を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
局所p進Simpson対応の研究については，これまで研究してきた幾何的基本群の一般化表現の場合と異なり，すべての一般化表現がHiggs束を用いて捉えられたことは大きな発見であった．以前数論的基本群のHodge-Tate表現の研究で似た手法を用いたことがあったが，本研究よりすべての一般化表現を系統的に捉えらる枠組みが得られたといえる．整p進Hodge理論の係数理論の研究については，p進Simpson対応で用いられた手法がAinf表現でも有効で，一般のAinf表現でも枠付き周期環への降下をいつでも構成することが可能であることを示せたことは，予想を超える発見であった．Frobenius付きAinf表現が係数理論として有望であることが明らかになるとともに，コホモロジー論の構築や，de Rham, crystalline, etaleコホモロジーへの特殊化を研究する足がかりが得られた．
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| 今後の研究の推進方策 |
正規交叉因子に特異性をもつcrystalline p進perverse層と対応する数論的D加群のコホモロジーの比較定理に関する結果について，引き続き論文を執筆する．前年度，Bhatt-Morrow-Scholzeの整p進Hodge理論の整crystalline表現に係数をもつコホモロジーへの一般化の局所理論が完成し論文投稿中であるが，更にFaltings toposのアプローチからの同理論の大域版の構築の研究を進めている．論文の執筆も含め大域版を完成させる計画である．Faltings toposのコホモロジーとエタールコホモロジーの比較についてのAbbes氏の研究を用いつつ研究を進める．前年度，Morrow氏とBMSの整p進Hodge理論の係数理論の構築を目指して，より一般のFrobenius付きのAinf表現の基本性質を調べた．特にこのような表現に対応するFrobenius付き接続付き加群が常に構成できることが分かっている．Frobenius付きAinf表現の大域版のproetale site上でのAinf加群の層を用いた構築及び接続付き加群のcohomologyとの比較の共同研究を進める．Berger氏と共同で進めているLubin-Tate拡大の局所岩澤理論の形式群の局所モジュライ空間を用いた研究については，共同研究によって構成した局所モジュライ空間上の(φ, Γ)加群の過収束性の問題の解決で難航しているが，今後も引き続き研究を行う.
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