| 研究課題/領域番号 |
15H02050
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
辻 雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40252530)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | p進表現 / Higgs束 / 整p進Hodge理論 / p進Simpson対応 |
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| 研究実績の概要 |
前年度に引き続き，Matthew Morrow氏と，Bhatt-Morrow-Scholzeの枠組みでの整p進Hodge理論の係数理論について共同研究を行なった．整局所p進Simpson対応では，整一般化表現と整Higgs束が（各対象がsmallであるという条件のもとで）対応するが，これらのコホモロジーの整構造を保つ比較はなされていなかった．今年度の研究により，Bhatt-Morrow-Scholzeの理論で導入された「ずらし」ガロア・コホモロジーを用いれば，整構造を保つ自然な同型が得られることが明らかになった．この同型の大域化は一般には成り立たず，その障害の解明が今後の課題である．Morrow氏と共同研究している整数p進Hodge理論のAinf係数理論を通して，標数pの代数多様体におけるSimpson対応の類似と結びつくことも期待される．またLaurent Berger氏を本科研費で招聘し，局所体Fに伴うLubin-Tate (φ，Γ)加群の岩澤理論の共同研究を再開した．2015年の本科研費を用いた共同研究によりLubin-Tate (φ, Γ)加群およびその岩澤加群の，形式群の局所モジュライ空間への持ち上げが得られていた．今年度，本科研費でBerger氏を招聘し，F解析的crystalline表現に伴うLubin-Tate Wach加群について共同研究を行い，Hodge filtrationの長さについての条件つきで，局所モジュライへのWach加群の持ち上げに成功した．応用として多変数の明示的相互法則の定式化を得た．F解析性およびHodge filtrationの長さについての条件をはずすこと及び明示的相互法則を証明することが今後の課題である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
有理係数p進Simpson対応におけるコホモロジーの比較は，Ahmed Abbes氏, Michel Gros氏との共著の2016年出版の本で完成していたが，整p進Simpson対応におけるコホモロジーの比較は素朴には成り立たず，比較の適切な定式化の方法が不明であった．今年度のMorrow氏との共同研究により，Bhatt-Morrow-Scholzeの整p進Hodge理論で導入された「ずらし」ガロア・コホモロジーがこの定式化に有効であることを発見し，局所的ではあるが座標によらない比較同型が得られたことは，この問題における大きな進展であった．またLubin-Tate (φ，Γ）加群の岩澤理論の研究については，2015年のLaurent Berger氏との本科研費による共同研究以降，形式群の局所モジュライ上での(φ，Γ）加群での過収束性の扱いが難しく研究の進展が長らく滞っていた．今年度の本科研費による共同研究により，扱えるガロア表現に制限があるものの，2016年の整crystalline表現のBMS整p進Hodge理論の研究で用いた手法を援用する別のアプローチにより，多変数の明示的相互法則の定式化に成功したことは大きな収穫であった．
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| 今後の研究の推進方策 |
正規交叉因子に特異性をもつcrystalline p進perverse層と対応する数論的D加群のコホモロジーの比較定理およびBhatt-Morrow-Scholzeの整p進Hodge理論の整crystalline表現に係数をもつコホモロジーへの一般化のFaltings toposを用いた大域理論の論文を引き続き執筆する．本科研費を用いて約2年間行なってきたMatthew Morrow氏とのBMSの整p進Hodge理論の係数理論についての共同研究を引き続き行う．具体的には，整p進Simspon対応，標数pの代数多様体におけるSimpson対応の類似，crystalline p進エタール局所系の理論など関連する理論との関係について研究を進める．昨年度，本科研費でLaurent Berger氏を招聘し，Lubin-Tate拡大の局所岩澤理論の形式群の局所モジュライ空間を用いた研究を行い，Hodgeフィルトレーションの長さがp-2以下のF解析的なcrystalline表現に対して，多変数の明示的相互法則を定式化することに成功した．今後は，明示的相互法則の証明，およびより一般のcrystalline表現への一般化について共同研究を行う．2次元以上の代数多様体での過収束条件なしのHiggs束に対するp進Simpson対応の研究は難航しているが，引き続き研究を行う.
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