| 研究課題/領域番号 |
15H02055
|
|---|
| 研究機関 | 明治大学 |
|---|
研究代表者 |
砂田 利一 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (20022741)
|
|---|
| 研究分担者 |
楯 辰哉 東北大学, 理学研究科, 教授 (00317299)
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
赤間 陽二 東北大学, 理学研究科, 准教授 (30272454)
内藤 久資 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40211411)
阿原 一志 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (80247147)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| キーワード | 準結晶 / 算術的準結晶 / 包含排除の原理 / 原始的格子点 / 原始的ピタゴラス数 |
|---|
| 研究実績の概要 |
離散的構造を幾何解析学のアイディアを用いて研究する離散幾何解析学の応用として、これまでの結晶格子の研究から先に進み、周期構造は有しないが秩序のある離散集合である準結晶と一般化されたリーマン和の関係を研究した。リーマン和は元々リーマン積分に関連する概念であるが、これをユークリッド空間の「重み付離散集合」に対して一般化、これを用いてnicely arrangement あるいはconstant densityの概念の定式化した。nicely arrangementの概念は一般論としては深くはないが、nicely arrangementに登場する定数（密度定数）に着目することにより、興味深い問題意識が生まれる。この概念を用いて原始的格子点の集合の分布を調べたが、これはガウスの日記にある既約分数の分布に関連している。この場合の密度定数はリーマン・ゼータ関数の特殊値に関係する。またに、原始的ピタゴラス数に関連する2次元離散集合がnicely arrangementであることを示した。双方で重要な役割を果たすのが、包含排除の原理である。その応用として、原始的ピタゴラス数の漸近挙動を確立するとともに、単位円周上の有理点の分布が均等分布になっているというDukeの定理の別証明を与えた。さらに、準結晶のクラスとして、算術的準結晶というべき概念を定式化するにあたり、その特別な場合を考察して、本研究の向かう先を確認した。恐らく、包含排除の原理が、この場合も有効であることが期待される。また、指数的重みを持つ場合の密度定数について、1つの例を計算した。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
新しい概念の定式化と、この定式化による新しい結果を得ることに成功し、次年度の研究に確実な方向を与えることができた。
|
| 今後の研究の推進方策 |
準結晶についてのこれまでの研究から、「算術的準結晶」の概念を定式化できる可能性があり、その理論を構築することを考えている。また、この理論を数論と関係とさせ、その応用を目指す。このため、包含排除の原理に基づく和公式の確立が急務である。
|
