| 研究課題/領域番号 |
15H02055
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
砂田 利一 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (20022741)
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| 研究分担者 |
楯 辰哉 東北大学, 理学研究科, 教授 (00317299)
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
赤間 陽二 東北大学, 理学研究科, 准教授 (30272454)
内藤 久資 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40211411)
阿原 一志 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (80247147)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 結晶的tight frame / 一般化されたリーマン和 / 結晶構造の標準的実現 |
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| 研究実績の概要 |
離散幾何解析学の発展的応用として、wavelet analysisに登場するtight frameの概念と結晶の標準的実現の間の関係を研究した。その中で、crystallographic tight frameの概念を抽出し、その性質を詳細に調べた。この概念は、単純リー環の分類に登場するルート系や、Leech格子、正多面体、準正多面体など、まったく異なる分野に現れる概念を一般化したものである。さらに、crystallographic tight frameの族は、グラスマン多様体の有理点でparameterizeされる。また、2次の不定方程式であるPellの方程式の一般化にも関連している。結晶構造との関連では、例えばダイヤモンド結晶は標準的実現の例であるが、これは立方体に付随するcrystallographic tight frameが関係し、ダイヤモンドの双子であるK_4結晶は、ルート系A_3が関係している。2次元結晶の場合は、複素2次曲面の有理点（虚2次体の数を座標とする点）と標準的実現が関連していることが、これまでの研究で分かっており、算術的代数幾何学と関連することになる。
これとは独立な研究として、準結晶に関係する研究を行った。この研究では、リーマン積分の定義に登場するリーマン和を一般化し、ユークリッド空間内の離散集合の分布に関する結果を得た。その応用として、原始ピタゴラス数の漸近挙動や、単位円周上の有理点に関する一様分布性の別証明を与えることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初の目的を相当程度達成しており、満足すべき進捗状況にある。
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| 今後の研究の推進方策 |
準結晶に関連する研究では、算術的準結晶の定式化を目標として、リーマン和に対する和公式を確立し、アイゼンシュタイン数の漸近挙動への応用を目指す。
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