| 研究課題/領域番号 |
15H03612
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
翁 林 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60304002)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | E 型の例外型単純リー群 / WEYL 群 / 翁ゼータ関数 / 弱リーマン予想 / 算術曲面 / IND-PRO 位相 / 算術 COHOMOLOGY 理論 / 相互法則 |
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| 研究実績の概要 |
まず、MATHEMATICA プログラムで E 型の例外型単純リー群の WEYL 群とそのゼータ関数の計算をした。その上、 E 型の例外型単純リー群のゼータ関数に関する弱リーマン予想の証明を行った。具体的に言うと、片山君と共に E6 の例外型単純リー群の WEYL 群とそのゼータ関数の計算をした。この計算の結果は、片山君の学位論文としてまとめられている。E7 群の時は、WEYL 群の計算が単純ルートの取り方によって、計算できるが否かが左右される。この場合、当時利用していたパソコンのメモリはまだ十分であった。しかしながら、 E8 群を取り扱う場合、利用できるパソコンのメモリでは不足していた。この問題を、分割を利用したり時間をかけたりすることで解決して、E 型の例外型単純リー群の WEYL 群を初めてMATHEMATICA プログラムで計算することに成功した。さらに、その中の特殊なWEYL 元も計算し、E 型の例外型単純リー群のゼータ関数も計算した。加えて、それぞれのゼータ関数の特異点での留数を計算し、An 型（n は 7 以下) と D5 型の情報を用いて、KI-小森ー鈴木らの翁ゼータ関数の LIE 構想と弱リーマン予想結果にある定数の非零性を E 型の例外型単純リー群に対し確立した。故に、E 型の例外型単純リー群のゼータ関数関する弱リーマン予想を証明することができた。
一方、以前菅原さんと共に導入した算術曲面上の COHOMOLOGY 群の研究から、WEIL 因子の第一COHOMOLOGY 群の有限性も証明を行った。これは、 2 次元の IND-PRO 位相の詳しい性質の研究と、算術 COHOMOLOGY 群を導入する時の全ての部分空間、さらにはそれらの和空間の閉性を確立した上での結果である。それと同時に、算術曲面の PARSHIN 型の相互法則の前の証明を行う中、 2 次元の IND-PRO 位相関する部分を補充し、よりわかりやすい形に変形することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
計画としては、おおむね順調に進展している。今年は、この研究プロジェクトに取り掛かってから一年目の年である。プロジェクトの中心とした翁ゼータ関数の弱リーマン予想を成り立つがどうかを E 型 (E6, E7, E8) の例外型単純リー群の場合で確かめたいと考えている。なお、 E6 は学生とともに計算を行った。しかしながら、それ以外の場合、特に E8 を処理する際、数学とパソコンのメモリの問題が起き、時間が予想以上に奪われてしまったため、予定よりも大幅に遅れてしまった。幸いなことに、最後まで、自分の信念を信じ続け、すべての E 型の例外型単純リー群の WEYL 群とそのゼータ関数の計算を終了することができた。その上、 E 型の例外型単純リー群の翁ゼータ関数関するの弱リーマン予想を証明することができた。これは、自信をつけるだけではなく、翁ゼータ関数関する弱リーマン予想が成り立つことへの確固とした証拠にもなる。
しかしながら、こうした計算には限界がある。つまり、An, Bn、Cn と Dn 列の場合、n を取りゆる範囲が有限ではなく、無限となる。この理由から、問題の解決には他の一般的な方法を探さなければならない。 そのため、’放物 REDUCTION、安定性と 体積' 予想を理解しようとした。かなり良いところまで近づいたが、時間の問題で結論をその次の年に出すこととなった。とはいえ、この時に行った理解は、問題の解決に大きな意味を持つものであった。
一方、菅原さんと共に算術曲面上の WEIL 因子の第一COHOMOLOGY 群の有限性の証明も行った。これは、今後の算術曲面の研究の中でも、基礎となる結果である。この結果は、2 次元の IND-PRO 位相の詳しい性質を調査していく中で、自然に出てきた結果である。今後の予定としては、VANISHING CYCLE と K-理論とを繋ぐことを目標としている。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究のテーマは (1) ゼータ函数の特殊統一性 (2) 非可換と可換ゼータの統一性 (3) モチーフ玉河数予想で、主安定束の研究での Atiyah-Bott による幾何的方法と Harder-Narasimhan による数論的方法を統一する (4) 異なる次元のゼータの統一性。今年の研究成果を踏まえて、まず、中心とするテーマ -- ゼータ 函数の特殊統一性といわゆる翁ーゼータの弱リーマン予想 -- を重点に据えて、来年以降、特に来年に研究しようと考えている。また、来年はサバティカルを取る予定であるため、訪問先である IHES および MPIM の、Lafforgue 教授、 Zagier 教授らの力をお借りして、関連するテーマの研究を行うことを予定している。特に、IHESでは、既約群 G に対する有限体上の曲線の主 G 束安定性による幾何截断と、G の adelic 空間上の Arthur 解析截断が一致するか否かという問題に挑む、「放物 REDUCTION、安定性とMASS」予想を理解することができれば幸いである。加えて、可能ならば代数体の類似を証明したいと考えている。一方MPIM では、まず、Zagier 教授と協力して有限体上の曲線の非可換ゼータ関数と SLn ゼータ関数に関するゼータ函数の特殊統一性の論文を完成させたい。その後、代数体上の主 torsor を導入し、キー小森ー鈴木ら翁ーゼータの LIE構造とその弱リーマン予想に関する結果の中ある定数は零ではないことを理解したい。すでに、E 型を含むたくさんの例を得られているが、いずれにせよこのアプローチは王道である。今回は特に、時間をかけて精査することによって、より良い結果を求めたいと考えている。さらに、仮に十分な時間を取ることが可能であるならば来年、なければそれ以降の時期に、 非可換ゼータ零点のΔ函数の分布とリーマンゼータ零点のδ 函数の分布の統一性を発掘し、異なる次元のゼータの統一性を考えたい。
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