| 研究課題/領域番号 |
15H03616
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
宮岡 礼子 東北大学, 理学研究科, 教授 (70108182)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 極小ラグランジュ部分多様体 / 安定性 / L2調和１形式 / 等径超曲面 / ガウス写像 / ハメルトン変形 / 交叉 / フレアホモロジー |
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| 研究実績の概要 |
正のケーラー多様体の極小ラグランジュ部分多様体Lは，コンパクトなら調和１形式を持たないが，ここでは非コンパクト完備なものについて, L2調和１形式を持たないことを第2変分公式を使うことにより証明した．これはLの余次元１のサイクルはLを二つに分割してしまうという，幾何学的な意味がある．特に曲面の時，これは種数が０であることを意味している．そこでより詳しい曲面の位相型と共形型を特定することに挑んできた．放物型というエンドが２つ以上あると，非自明な調和１形式を構成できてしまうことが，Li-Tamにより示されているので，曲面の場合，球面から除く円盤は高々１つであることがわかる．あとは点をいくつ除けるかを明らかにしたい．これで正のケーラー多様体の安定極小ラグランジュ部分多様体の共形型が明らかになる．これはFischer-Colblie-Schoenの極小曲面に関する重要な結果のラグランジュ版として興味深い．
等径超曲面のガウス写像の像Lは，正のリッチ曲率を持つ複素２時超曲面の極小ラグランジュ部分多様体となり，ハミルトン変形ΦによりLとΦ(L)の交叉が外せるかどうかは，フレアホモロジーが定義できるかどうかの判定の第一歩である．我々は，マスロフ数が３以上の時に成立するスペクトル系列の議論を用いることにより，主曲率の重複度が２以上であれば，交叉はどんなハミルトン変形に対しても外せないということを示し，フレアホモロジーの生成元の候補が存在することを示した．これはフレアホモロジー計算への第１歩であり，今後の課題として，フレアホモロジーの計算と，残された重複度１の場合の考察がある．基盤研究Bにより，引き続き研究を進める
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
L２調和１形式の非存在は証明できた．さらに共形型を調べるためには，平坦計量と誘導計量の違いをはっきりさせなければならないという問題点がはっきりした．この点を明らかにする先行研究を把握したので，それを基礎に研究を進めていく．誘導計量と平坦計量の違いに注意してカットオフ関数をうまく構成することがキーとなりそうである．
ラグランジュ交叉に関しては，重複度が２以上の場合はHamiltonian non-displaceabilityを完全に証明できた．
重複度１の場合，最小マスロフ数が２となり，既存のスペクトル系列の議論が使えずに，課題が残っている．まずLのトポロジーを知る為，具体的なモース関数を用いた臨界点の個数の判定などをするというアイディアを持っているので，この線で今後の研究を進めたい．
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| 今後の研究の推進方策 |
２つ目の研究は，入江博（茨城大），Hui Ma（中国 清華大学），大仁田義裕（大阪市大）との共同研究であり，当科研費により，２８年度９月に北京で共同研究を続けることになっている．Lの上に具体的なモース関数を定義して臨界点を数えるなどのアイディアを温めている．
ここで扱う球面の等径超曲面Nのトポロジーはよくわかっている．しかしガウス写像の像LはNをZgで割った形になり，g=4,6という素数でない場合，Lのトポロジーを計算することが以外に難しいことがわかった．そこで，等径関数の等位面として定義される等径超曲面のガウス像にも，何らかのうまい関数を考えて．モース関数を構成できればその臨界点から位相を調べることができると考えている．
これにより，Lとそのハミルトン変形の交叉が外せるかどうかの考察の第一歩が踏み出せる．
既に交叉が外せないとの結論のでいている重複度２の場合については，次の課題はフレアホモロジーの具体的計算である．生成元の候補が見つかったので，果たしてフレアホモロジーが通常のホモロジーと一致するか（ワイド，ブロードなどと言う），もしくは消えてしまうか（ナローという）を調べることは，興味深い研究課題である．
ガウス像については，焦部分多様体との関係においてもいろいろ興味深く，また体積安定性は非等質の場合には知られていないので，この課題の専門家であるH.Ma氏と大仁田氏とともに，これも追求していく．
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