| 研究課題/領域番号 |
15H03619
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
小島 定吉 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90117705)
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| 研究分担者 |
藤原 耕二 京都大学, 理学研究科, 教授 (60229078)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
高澤 光彦 東京工業大学, 情報理工学院, 助教 (80323822)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | トポロジー / 幾何学 / 実験数学 / 曲面 / ３次元多様体 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は（１）曲面の写像類の不変量，（２）部分群の分離性，（３）トポロジーにおける計算，という三つの大項目を課題として取り上げており，平成28年度はそれぞれについて以下のような成果を得た．
（１）に関して，エントロピーの類似物である Teichmuller 空間上の各種移動距離の解析を進めた．とくに Schlenker による擬 Anosov 写像の Weil-Petersson 移動距離の評価を得るための繰り込み体積の変分公式について定数倍の誤りの可能性が複数の専門家から示唆されていたが，我々は彼の微分幾何的な議論を複素解析的に読み替え，計量の選択に起因する幾つかの定数の誤りを訂正し，平成27年度に我々が書いた論文の結果は正しいことを確認した．（２）に関しては，分離性と深く関連する Tits 排反について，Wise により予想され，ごく最近 Antolin-Minasyan および Bregman により証明されたスペシャル群の強 Tits 排反の証明の詳細を確認し，Bregman による証明の改良版を京都大学での集中講義で紹介した．（３）に関しては，（１）に関連し Teichmuller 空間上の各種移動距離の計算のアルゴリズム化を推し進め，Weil-Petersson 計量の場合の計算の足掛りを得た．
これらの成果を得るために年間を通じて研究分担者・連携協力者・研究協力者との研究打ち合わせを実施し，さらに「Topology and Computer 2017（於秋田大学カレッッジプラザ）」を開催した．またポスドク研究員を1名雇用，平成28年度1年間東京工業大学に滞在した Durham 大学の John Parker 教授とともに定期的にセミナーを開催することにより，複素双曲幾何の側面からの支援を得，Thurston による複素双曲格子構成の拡張を模索した，
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
三つの大項目のうちの（１）写像類の不変量に関して，当初の目標は Teichmuller 空間上の各種移動距離全般の解析が目標であったが，平成27年度に Greg MacShane 氏と共同で執筆した論文中に引用した Schlenker 氏の Weil-Petersson 移動距離の明示的評価のための繰り込み体積変分公式について，複数の専門家から細かい定数の誤りが示唆されており，その正誤の確認に時間をかけた．そして，正則2次微分と Beltrami 微分の間の対応に対する Riemann 面の計量への依存度に遡り詳細を再検証し，Schlenker 氏の計算の誤りを訂正することができた．結果として我々の主張は不変ですみ，すでに進んでいた幾つかの後継研究への影響はなかったが，平成27年度に発表した論文を改訂し信頼性を確実なものにしたという意味で一歩進んだと考えている．
さらに，大項目（３）トポロジーにおける計算については，正則2次微分の空間上の L_p ノルムが誘導する Teichmuller 空間上の距離に関する擬 Anosov 写像の移動距離の計算のアルゴリズム化が目標だったが，Schlenker 氏の議論を再確認する過程で，p=2 の場合の Weil-Petersson 距離について1点穴開きトーラスの場合に予備計算に着手できそうな状況になり，この課題は皆目手がつかなかった平成27年度を考えると思わぬ副産物が得られたと言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
平成29年度は最終年度であり，本研究が設定した三大項目（１）曲面の写像類の不変量，（２）部分群の分離性，（３）トポロジーにおける計算，について，昨年度までの2年間の成果を下にさらなる発展，と同時に研究の収束を目指す．
とくに（１）に関しては，昨年度に引き続き，正則2次微分の空間の上の L_pノルムが誘導する Teichmuller 空間上の Finsler 距離に関する擬アノソフ写像の作用に関する移動距離の理論的解析をさらに進めるが，とりあえずは（３）の実験的手法と絡めて計算の取っ掛かりを手探りで探す．拠り所として McMullen と Dumas による一様ノルムが最適の評価を与えるという試行実験があるが，我々も昨年度の花田直樹による修士論文で１点穴開きトーラスの Teichmuller 空間の写像類群の作用が記述できる具体的径数付けを得たので，これをもとに独自の具体的計算に取り組む．また（２）については昨年度の研究をもとに，とくに純粋に幾何学的群論の立場から分離性の有用性を見直し，空間と基本群の通約性を関連させた研究を展開する．
このため，引き続き年間を通して研究分担者・連携協力者・研究協力者と研究打ち合わせ，および関連研究集会の開催を実施・支援する．とくに10月に大阪で「Topology and Computer 2017」を開催する．また複素双曲幾何で実績のある研究員1名を6ヶ月雇用する．これに加え，年度末に本研究を締めくくる小研究会を開催予定である．
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