| 研究課題/領域番号 |
15H03623
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
泉 正己 京都大学, 理学研究科, 教授 (80232362)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 函数解析 / 作用素環 / 群作用 |
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| 研究実績の概要 |
作用素環を使ったフュージョン圏の分類と部分因子環の分類を行った．フュージョン圏は有限群の表現の圏の一般化であり，有限群や量子群の表現論，低次元トポロジーや共形場理論など数学や数理物理学の多くの分野に現れる．しかし部分因子環の分類理論に現れるものの中には，他の分野に現れない特異なものが含まれる．研究代表者は以前の研究で，そのようなものの中でも near-group 圏と呼ばれるフュージョン圏を Cuntz 環の自己準同型のなす圏により実現する方法を得ていた．本研究ではすべての near-group 圏がこの方法で得られることを示し分類定理を得た．near-group 圏は整数型と非整数型に分類されるが，整数型の場合には群論による記述が可能であり完全な分類を行った．この場合，アファイン群により記述される既知なものの他に，格別２群が現れる新しい例が存在し，これが非可換群が現れる唯一の場合であることを示した．非整数型の場合に完全分類を実行するのは困難であるが，完全分類不変量を記述する方程式を得ることができた．これにより near-group 圏の外部自己同形群の記述、その同変化や脱同変化の具体的な記述を与えた．この結果はプレプリントとして発表準備中である．
near-group 圏を含むより大きなフュージョン圏のクラスとして２次圏があり，上述の方法はこの場合にも有効である．near-group 圏の場合に記述が最も簡単であった整数型でアファイン群で記述される場合を２次圏の場合に拡張して考察した結果，アファイン群より複雑な２重可移群により記述することが可能であることが明らかになった．しかし状況ははるかに複雑であり，分類不変量であるコホモロジー不変量の計算も複雑であるので、その計算に着手した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要で記述したように部分因子環とフュージョン圏の分類についての研究は予想以上に順調に進んでいる．2次圏は有限群論との深い関係をもつなど，当初予想したより豊かな構造を持つことが明らかになったため，より時間と労力をかけて研究を行う価値のある課題であることが認識できた．
他方で，分類可能な核型C＊環への群作用の分類の研究に掛ける時間と労力が不足気味であったため，総合的な観点から，本研究はおおむね順調に進展していると判断した．この課題については，ドイツから若手の研究者を招聘して，新しい概念である強自己吸収的な群作用について議論を行い，今後の研究に準備を行った．
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| 今後の研究の推進方策 |
2次圏の本格的な分類に着手する．既に整数型の一番簡単であると予想されるクラスについて，群論的記述が可能であることを確かめているので，コホモロジー的な分類不変量の定式化を行い，さらにそれを計算することにより完全分類を目指す．この研究では，フュージョン圏の代数的理論の専門家であるルイジアナ州立大学の Siu-Hung Ng 氏と共同研究を行う予定である．
非整数型2次圏の特殊な場合である generalized Haagerup 圏には、半直積群の場合との類似を考えることにより３次コホモロジー的不変量を導入することができる．特に部分因子環に付随して現れるgeneralized Haagerup 圏では，この不変量が消えており、その結果として Cuntz 環による分類が可能であると考えられる．このプログラムを実行し，より広いクラスの generalized Haagerup 圏及び対応する部分因子環の分類を行う．
分類可能な核型C*環への群作用の分類の中で，強自己吸収的作用の役割を明らかにする．前年度行った予備的研究で，Cuntz 環への有限群の作用の場合には，K理論をとおして強自己吸収性と整数係数の群環の単元の間に関係があるという興味深い事実がわかった．代数の専門家の協力を得てこの問題を解決する．
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