| 研究課題/領域番号 |
15H05740
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647)
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| 研究分担者 |
磯崎 洋 筑波大学, 数理物質系, 教授 (90111913)
羽田野 祐子 筑波大学, システム情報工学研究科(系), 教授 (60323276)
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| 研究期間 (年度) |
2015-05-29 – 2020-03-31
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| キーワード | 係数決定逆問題 / 境界値逆問題 / リーマン計量決定 / 非ニュートン流体 / 非整数階偏微分方程式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は以下に挙げる4つの課題である。課題ごとに説明する。
課題（Ａ）境界値逆問題：空間次元が2次元の場合の単独の楕円型方程式に関しては、おおむね安定性も含めて所期の成果を収めた。マックスウェルの方程式、ナビエ・ストークス方程式や弾性体の方程式などに対しても一意性を確立した。課題（Ｂ）リーマン計量決定逆問題：この課題は困難が予測されたが、線形化された逆問題の一意性の証明法として、フーリエ変換によって輸送方程式に変換する手法を確立して、一意性の研究を完成させた。課題（Ｃ）：逆問題の対象となる非ニュートン流体のモデル式のサーベイをおおむね完了させ、粘弾性体を含めて支配方程式を確定し、基礎となるカーレマン評価式の確立を目指した。支配方程式の基礎であるナビエ・ストークス方程式のカーレマン評価を完成させ、その逆問題への応用の素地が整っている。課題（Ｄ）非整数階偏微分方程式の逆問題：不均質媒質中の特異拡散などの物理的背景を工学者などの研究者とともに精査しさまざまなタイプの方程式の解の存在と逆問題の理論研究を行った。
また、係数決定逆問題による実世界の課題解決であるが、福島原発事故後のセシウム137の土壌浸透の数理モデルの解析と逆問題手法に基づく係数などのパラメータの適切な決定によって、長期汚染マップの改善に大いに寄与している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成27年度は、研究代表者に限定しただけでも査読付きの英文論文18篇、査読付き和文論文を1編（いずれも共著）完成した。このような出版は、本研究によって海外の研究者などを課題ごとに組織し、招へいや訪問などにより機動的かつ集中的な共同研究を実施してきたことによる。さらにアウトリーチ活動にも力を入れ、社会連携と数学に関連した和文の解説記事を 5 編などを執筆した（13. 研究発表の欄参照）。また、課題（Ａ）境界値逆問題に関連した専門書および課題（Ｃ）に関連したカーレマン評価による係数決定逆問題の専門書の執筆を行っており、後者は平成28年度に出版される見込みである。
また、平成27年度に国際会議で本研究成果に関する基調講演を 5 回行った。その他に、逆問題を社会の諸課題に応用して解決していくことに関するアウトリーチ的な講演を1 回行った。このような研究成果から、おおむね順調に進展していると判断している。
以下、課題ごとに述べる。課題（Ａ）：境界値逆問題：2次元の場合の一意性をおおむね完成させた。さらに安定性についても一定の成果を収め、これらの成果は27年度に主要な部分は出版できた。課題（Ｂ）リーマン計量決定逆問題：この課題は当初から、困難が予測されており、成果は線形化された逆問題の一意性に関するものであり、出版に向けて作業を行っている。課題（Ｃ）：準備段階として支配方程式ののサーベイを完了させ、基礎的な手法であるカーレマン評価式も基本的に確立している。支配方程式の基本的な要素となるナビエ・ストークス方程式のカーレマン評価を完成させたので、この課題の研究の大きな広がりが平成28年度以降に期待できる。課題（Ｄ）非整数階偏微分方程式：物理・工学で導入されて研究されているさまざまなタイプの非整数時間微分をもつ偏微分方程式の理論的研究の統括的な研究を展開できた。
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| 今後の研究の推進方策 |
課題（Ａ），（Ｃ），（Ｄ）：平成27年度は順調に進捗しているので、今後も研究を同様の共同研究体制で進めていく。すなわち、海外の共同研究者などの招へいなどで集中的な共同研究を行う。
課題（Ｂ）：もともと困難さが想定されており、平成27年度には線形化された逆問題の一意性を証明したに留まっている。本年度は、研究の加速のため、あらたに研究分担者を加えて体制の強化をはかるとともに、海外の研究機関、研究集会に参加して、情報の収集や新たな共同研究を始める予定である。
本研究に関連する逆問題を社会連携に活用し、現実の課題の解決に役立てるとともに理論研究にフィードバックさせるという展開研究も引き続き行う。特に課題（Ｄ）に密接に関連している汚染物質の拡散のシミュレーションの改善のためのモデル方程式やその係数などのパラメータ決定逆問題について工学者と研究を行っていく。
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| 備考 |
下記 URL は現在、再構成中:http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~myama/kiban_S/index.html
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