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2016 年度 実績報告書

偏微分方程式の係数決定逆問題の革新的解決と応用

研究課題

研究課題/領域番号 15H05740
研究機関東京大学

研究代表者

山本 昌宏  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647)

研究分担者 羽田野 祐子  筑波大学, システム情報系, 教授 (60323276)
磯崎 洋  立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913)
中村 玄  北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50118535)
研究期間 (年度) 2015-05-29 – 2020-03-31
キーワード関数方程式論 / 逆問題 / リーマン計量決定 / 非ニュートン流体 / 非整数階偏微分方程式 / 一意性・安定性
研究実績の概要

主要4課題ごとに述べる。課題(A)境界値逆問題:連立楕円型方程式の境界値逆問題の一意性を2次元の場合に非一意性の特徴付けも含めて解決した。さらに逆問題の安定性評価式を代表者らが確立した。研究分担者は関連したスペクトル逆問題や再構成について成果を挙げた。課題(B)リーマン計量決定逆問題:研究代表者らが、ユークリッド空間内に埋め込まれた計量を境界上のかってな2点を結ぶ線分上での積分値全てから決定する積分幾何における逆問題の一意性をある線型化の下で証明し出版した。1階の偏微分方程式に変換するという方法論は有用であることは知られていたが、最近はあまり注目されることはなかったが、本研究により有効性が再確認されたことの意義は今後の研究の展開にとり重要である。課題(C)非ニュートン流体ならびに粘弾性体における係数決定逆問題:非圧縮粘性流体の基礎方程式であるナビエ・ストークス方程式について、逆問題の一意性・安定性を確立する基礎的な道具であるカーレマン評価式を出版した。投稿中であるが、非等方性の媒質の場合の粘弾性方程式に対する外力項決定逆問題についての成果もある。さらに多様な関連する方程式の逆問題の数学解析を広範に進めた。課題(D)非整数階偏微分方程式:不均質媒質中の特異拡散などの物理的背景から、緩和関数を含む一般的な型の非整数階微分や分布型非整数階微分をもつ拡散方程式の順問題ならびに逆問題の研究に取り組み、成果を公表した。また、研究代表者と分担者・羽田野教授はセシウムの汚染予測のために移流拡散方程式などに基づく逆問題の考察などを行い、本研究計画による逆問題の数学による成果を実データにより評価した。本計画は逆問題の数学解析を発展・深化を目指すものであるが、その成果を現実の課題解決を通じて実社会への還元するために、実データや現場の研究者との連携によって数学手法の検証を行っている。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

課題(A):連立楕円型方程式も含めて空間次元が2 の場合に一意性の研究をほぼ終了した。また分担者によって密接に関連した課題について成果が着実に挙がっているので、おおむね順調に進展している。
課題(B):リーマン計量決定逆問題:当初から最も大きな困難さは想定されており、研究の進捗はやや遅れている。
課題(C)非ニュートン流体ならびに粘弾性体における係数決定逆問題:当初の研究計画では非ニュートン流体に限定していたが、その後の本研究の進捗により、研究対象も粘弾性方程式に拡張されることがわかり成果の大きな拡大が想定できる。また基礎的な道具であるカーレマン評価式の見通しもついており、平成29年度以降に成果が大いに期待できるので、当初の計画以上に進展していると判断している。
課題(D)非整数階偏微分方程式の逆問題と順問題の数学解析:多様な逆問題や解の性質などに関する順問題の成果が雇用したポスドクなども巻き込んで、本研究により効率的に出版され、本研究プロジェクトの国際的な認知度も増大し、国際共同研究も進展している。このようなことから当初の計画以上に進展していると判断している。
さらに、係数決定逆問題が産業界、異分野において果たす重要な役割について、日本語雑誌や講演会を通じて関連分野、業界における研究者や関係者の認識を高めることができた。

今後の研究の推進方策

主要な4課題について、難易度などの要因で、それぞれ達成・進捗状況が異なるので本基盤研究の第3年目という観点から全体の遂行について調整を以下のように図る。課題(A)境界値逆問題:単独の楕円型方程式に関しては所期の成果を得たが、28年度までに完了できなかった一般次元の場合の弾性方程式などの連立系についての一意性を確立することを第一に目指す。
課題(B)リーマン計量決定逆問題:一意性の結果をいわゆる輸送方程式に基づいて確立する方法は強力なものであるので、この手法の追及・深化を図る。この課題の進捗が4課題のうちで最も遅れているので、平成29年度は海外の研究協力者や共同研究者との連携を強化し、短期期間の招へいによって集中的に解決に取り組む。
課題(C)非ニュートン流体、粘弾性体の係数決定逆問題:流体のさまざまな方程式に対して基本的な道具であるカーレマン評価式をまず完成させ、それらを係数決定逆問題に適用して一意性・安定性を確立していく。これまでの本研究により、課題(C)は手法的に熱弾性、粘弾性などの種々の方程式の逆問題に大いに関連していることがわかってきたので、粘弾性方程式の逆問題の数学解析にも対象を拡大する。手法や基本構想はほぼできあがっているので、ポスドクなどと共に速やかな出版につなげていきたい。また、数学解析のために本基盤研究で開拓、発展させた方法論についての専門書を執筆中で、速やかな出版を目指す。
課題(D)非整数階偏微分方程式の順問題と逆問題の包括的な研究:もともとの非整数階偏微分方程式の逆問題の解決のためには、実は、初期値・境界値問題の解の定義、一意存在や漸近挙動などの順問題の基本性質の研究の整備が急務であり、これまでの成果を発展させて単行本ならびにハンドブックの分担執筆なども行っていく。

  • 研究成果

    (46件)

すべて 2017 2016 その他

すべて 国際共同研究 (6件) 雑誌論文 (29件) (うち国際共著 17件、 査読あり 20件、 謝辞記載あり 11件) 学会発表 (8件) (うち国際学会 8件、 招待講演 7件) 図書 (1件) 学会・シンポジウム開催 (2件)

  • [国際共同研究] Rice University/Colorado State University/North Carolina State University(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      Rice University/Colorado State University/North Carolina State University
    • 他の機関数
      1
  • [国際共同研究] Fudan University/Southeast University/Zhejiang University(中国)

    • 国名
      中国
    • 外国機関名
      Fudan University/Southeast University/Zhejiang University
    • 他の機関数
      3
  • [国際共同研究] Grenoble University/Aix-Marseille University/0(フランス)

    • 国名
      フランス
    • 外国機関名
      Grenoble University/Aix-Marseille University/0
  • [国際共同研究] University Roma La Sapienza/University Roma II/Politechnico di Milano(イタリア)

    • 国名
      イタリア
    • 外国機関名
      University Roma La Sapienza/University Roma II/Politechnico di Milano
    • 他の機関数
      2
  • [国際共同研究] Weierstrass Institute/Beuth Technische Hochschule/0(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      Weierstrass Institute/Beuth Technische Hochschule/0
  • [国際共同研究]

    • 他の国数
      4
  • [雑誌論文] On Calderon’s problem for a system of elliptic equations2017

    • 著者名/発表者名
      Imanuvilov, Oleg; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      Publ. Res. Inst. Math. Sci.

      巻: 53 ページ: 141, 186

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] On existence and uniqueness of solutions for semilinear fractional wave equations2017

    • 著者名/発表者名
      Kian, Yavar; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      Fract. Calc. Appl. Anal.

      巻: 20 ページ: 117, 138

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Inverse source problem for the hyperbolic equation with a time-dependent principal part2017

    • 著者名/発表者名
      Jiang, Daijun; Liu, Yikan; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      J. Differential Equations

      巻: 262 ページ: 653, 681

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] 社会連携が拡げる新たな数学研究:数学の社会連携の持続的発展を目指して2017

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 雑誌名

      数学セミナー

      巻: 3 ページ: 73,79

  • [雑誌論文] 植物個体群における生長と枯死の関係:自己間引きの数学解析2017

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 雑誌名

      数学セミナー

      巻: 1 ページ: 77, 83

  • [雑誌論文] Global transformations preserving Sturm-Liouville spectral data2017

    • 著者名/発表者名
      H. Isozaki, E. Korotyaev
    • 雑誌名

      Russian J. of Math. Phys.

      巻: 24 ページ: 51, 68

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Numerical reconstruction of unknown Robin inclusions inside a heat conductor by a non-iterative2017

    • 著者名/発表者名
      G. Nakamura, H. Wang
    • 雑誌名

      Inverse Problems

      巻: 33 ページ: 055002

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Reconstruction of Lame moduli and density at the boundary enabling directional elastic wavefield decomposition2017

    • 著者名/発表者名
      M. V. de Hoop, G. Nakamura, J. Zhai
    • 雑誌名

      SIAM J. Appl. Math.

      巻: 77 ページ: 520,536

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Uniqueness in an integral geometry problem and an inverse problem for the kinetic equation2016

    • 著者名/発表者名
      Arif Amirov, Fikret Goelgeleyen, Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      Applicable Analysis

      巻: 95 ページ: -

    • DOI

      http://dx.doi.org/10.1080/00036811.2016.1213387

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] General time-fractional diffusion equation: some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems.2016

    • 著者名/発表者名
      Luchko, Yuri; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      Fract. Calc. Appl. Anal.

      巻: 19 ページ: 676, 695

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Strong maximum principle for fractional diffusion equations and an application to an inverse source problem2016

    • 著者名/発表者名
      Liu, Yikan; Rundell, William; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      Fract. Calc. Appl. Anal.

      巻: 19 ページ: 888, 906

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Stability for some inverse problems for transport equations2016

    • 著者名/発表者名
      Goelgeleyen, Fikret; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      SIAM Math. Anal.

      巻: 48 ページ: 2319, 2344

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Calderon problem for Maxwell's equations in two dimensions2016

    • 著者名/発表者名
      Imanuvilov, Oleg Y.; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      Journal of Inverse and Ill-posed Problems

      巻: 24 ページ: 351, 355

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Carleman estimate for the Navier-Stokes equations and an application to a lateral Cauchy problem2016

    • 著者名/発表者名
      Bellassoued, Mourad; Imanuvilov, Oleg; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      Inverse Problems

      巻: 32 ページ: 025001

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] On the reconstruction of unknown time-dependent boundary sources for time fractional diffusion process by distributing measurement2016

    • 著者名/発表者名
      Liu, J. J.; Yamamoto, M.; Yan, L. L.
    • 雑誌名

      Inverse Problems

      巻: 32 ページ: 015009

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Uniqueness in inverse boundary value problems for fractional diffusion equations2016

    • 著者名/発表者名
      Li, Zhiyuan; Imanuvilov, Oleg Yu.; Yamamoto, Masahiro
    • 雑誌名

      Inverse Problems

      巻: 32 ページ: 015004

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Carleman estimate and unique continuation for a structured population model2016

    • 著者名/発表者名
      Uesaka, Masaaki; Yamamoto, Masahiro.
    • 雑誌名

      Applicable Analysis

      巻: 95 ページ: 599, 614

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] 複雑な構造が似ていることをどう認識するか2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏、劉逸侃
    • 雑誌名

      数学セミナー

      巻: 11 ページ: 53,59

  • [雑誌論文] 製鉄業における課題と逆問題:数学手法の汎用性と技術の横展開(その2)2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏、中川淳一
    • 雑誌名

      数学セミナー

      巻: 9 ページ: 79,85

  • [雑誌論文] 製鉄業における課題と逆問題:数学手法の汎用性と技術の横展開(その1)2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏、中川淳一
    • 雑誌名

      数学セミナー

      巻: 7 ページ: 78,84

  • [雑誌論文] 歪取プロセスの最適なアルゴリズム構築(結):断面形状の決定2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏、木村正人、川合亮平
    • 雑誌名

      数学セミナー

      巻: 5 ページ: 66,72

  • [雑誌論文] 世界を理解するための鍵となる「微分方程式」2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 雑誌名

      ニュートン別冊

      巻: - ページ: 166,169

  • [雑誌論文] 非整数階微分が現代社会の問題を解決する!2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 雑誌名

      ニュートン別冊

      巻: - ページ: 174, 177

  • [雑誌論文] 微分の応用:関数の変化を局所的に調べ、大局的につなげること2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 雑誌名

      ニュートン別冊

      巻: - ページ: 178,181

  • [雑誌論文] Correlation-study about the ambient dose rate and the weather conditions2016

    • 著者名/発表者名
      Masato Furuya, Yuko Hatano, Tomoo Aoyama, Yasuhito Igarashi, Kazuyuki Kita, Masahide Ishizuka
    • 雑誌名

      Geophysical Research Abstracts

      巻: 18 ページ: EGU2016-11774

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Spectral properties of Schroedinger operators on perturbed lattices2016

    • 著者名/発表者名
      K. Ando, H. Isozaki, H. Morioka
    • 雑誌名

      Ann. Henri Poincare

      巻: 17 ページ: 2103,2171

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Exponential decay of solutions to initial boundary value problem for anisotropic visco-elastic systems2016

    • 著者名/発表者名
      G. Nakamura, M.Oliva
    • 雑誌名

      Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste

      巻: 48 ページ: 5, 19

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Improved asymptotic analysis for dynamical probe method2016

    • 著者名/発表者名
      Y-G. Ji, K. Kim, G. Nakamura
    • 雑誌名

      Journal of Inverse and Ill-posed Problems

      巻: 24 ページ: 489,498

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Reconstruction of the shear modulus of viscoelastic systems in a thin cylinder: an inversion scheme and experiments2016

    • 著者名/発表者名
      J. Eom, H. Kang, G. Nakamura, Y-C. Wang
    • 雑誌名

      Inverse Problems

      巻: 32 ページ: 19

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Identification of elasticity tensor by boundary measurements2017

    • 著者名/発表者名
      中村玄
    • 学会等名
      MATH+X Symp. on Seismology and Inverse Problems
    • 発表場所
      Rice Univ., Houston, U.S.A
    • 年月日
      2017-01-19 – 2017-01-19
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Coefficient inverse problems for integro-partial differential equations by Carleman estimates: viscoelasticity2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 学会等名
      Inverse Problems and Related Topics
    • 発表場所
      FRUMAM, Aix-Marseille Universite, フランス
    • 年月日
      2016-11-25 – 2016-11-25
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Unique existence and qualitative studies of solutions to initial - boundary value problems for time-fractional diffusion equations and applications2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 学会等名
      Workshop on Control and Inverse Problems for Partial Differential Equations
    • 発表場所
      Zhejiang University, 中国
    • 年月日
      2016-10-26 – 2016-10-26
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Probe type method for acoustic wave equations with discontinuous coefficients2016

    • 著者名/発表者名
      中村玄
    • 学会等名
      Analysis and Numerics of Acoustic and Electromagnetic Problems
    • 発表場所
      RICAM, Linz Uni., Austria
    • 年月日
      2016-10-26 – 2016-10-26
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Well-posedness of initial - boundary value problems for time-fractional diffusion equations and inverse problems2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 学会等名
      Chemnitzer Symposium on Inverse Problems
    • 発表場所
      Technische Universitaet Chemnitz, ドイツ
    • 年月日
      2016-09-23 – 2016-09-23
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Inverse problems of determining moving sources in wave equation and heat equation: some overview2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 学会等名
      SIMAI 2016
    • 発表場所
      Politecnico di Milano, イタリア
    • 年月日
      2016-09-15 – 2016-09-15
    • 国際学会
  • [学会発表] Forward and inverse problems for fractional diffusion equations: some overview2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 学会等名
      4th International Workshop on Computational Inverse Problems and Applications
    • 発表場所
      Shandong University of Technology, Zibo, 中国
    • 年月日
      2016-07-10 – 2016-07-10
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Inverse boundary value problems by partial Cauchy data for Maxwell’s equations and Schroedinger equations: cases of waveguides and cylindrical domains,,2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 学会等名
      New Trends in Theoretical and Numerical Analysis of Waveguides
    • 発表場所
      Porquerolles (IGESA), France
    • 年月日
      2016-05-18 – 2016-05-18
    • 国際学会 / 招待講演
  • [図書] 第12講 応用解析-非整数階偏微分方程式の新理論とその応用(斎藤毅・河東泰之・小林俊行編「数学の現在」所収)2016

    • 著者名/発表者名
      山本昌宏
    • 総ページ数
      21
    • 出版者
      東京大学出版会
  • [学会・シンポジウム開催] Inverse problems and medical imaging2017

    • 発表場所
      東京大学大学院数科学研究科
    • 年月日
      2017-02-13 – 2017-02-17
  • [学会・シンポジウム開催] 非整数階微分方程式と環境汚染の数理についてのミニワークショップ2017

    • 発表場所
      東京大学大学院数理科学研究科
    • 年月日
      2017-02-09 – 2017-02-09

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公開日: 2018-01-16   更新日: 2022-10-14  

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