| 研究実績の概要 |
本研究の目的はベルグマン核の漸近解析やモンジュ・アンペール方程式の解析といった多変数複素解析の技術を定スカラー曲率ケーラー計量の存在問題に応用することであった。偏極多様体がK安定ならば定スカラー曲率ケーラー計量を持つだろうという従来の予想に対し、我々はより強い一様K安定性の概念を導入し、それがKエネルギー汎関数の増大条件と対応するという描像を与えた。ただしこれは多様体がゼロ以外に正則ベクトル場を持たないという条件の下であり、多様体に自己同型群が豊富にある場合を調べることが当該年度の研究課題であった。我々はまず一様K安定性が実際に自己同型群の有限性を導くことを示し、さらに多様体がゼロでない正則ベクトル場を持つ場合に、一様K安定性の概念を拡張する研究を行った。その結果、当該年度において次の結果が得られた。
1)トーリック多様体と呼ばれる凸多面体に付随する多様体のクラスは正則ベクトル場を豊富に持つ。このクラスに対しては一様K安定の概念に相当するものが知られていた。我々は、トーリック多様体に関してはこの安定性がKエネルギーの増大条件と完全に同値であることを証明した。
2)(ゼロでない正則ベクトル場を持つ)偏極多様体に対し一様K安定性の概念を拡張した。この過程で、テスト配位に付随する測地線のreduced normが、トーラス作用の固有値分布の極限として得られることを示した。
3)一般の(ゼロでない正則ベクトル場を持つ)偏極多様体に対し、拡張された一様K安定性とKエネルギー汎関数の増大度との関係をつける研究を行った。
この1), 2)それぞれについて論文にまとめ、成果を研究集会等で適宜発表した。さらに、3)はS. Boucksom氏、M. Jonsson氏との共同研究として論文にまとめる予定である。
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