| 研究実績の概要 |
Hempel距離は３次元多様体の複雑さをよく反映することが，多くの研究により示され，強力な証明手法として活用されている概念である．これまでの研究成果として，小林毅氏、張娟姫氏との共同研究でkeenなHeegaard分解と呼ばれる概念を定義し，任意のg(>2)と任意の自然数n(>2) に対して、距離がちょうどnとなるような種数gのHeegaard分解でkeenであるようなものが存在することを示した。この結果をもとに，今年度は，keenの概念を結び目の橋分解に拡張し，そのような性質をもつ絡み目の橋分解の詳細な性質に関する考察を推し進めた．
また，本研究の目的の1つである既存のHempel距離の評価の改善に関して，Johnson[J]の論文では，申請者と小林毅氏，張娟姫氏のこれまでの共同研究における測地線の構成方法から着想を得て「flexpath」と呼ばれる性質を持った測地線を構成し，圧縮不可能曲面をもつ３次元多様体のHempel距離の既存の評価が最良であると示していることが分かった．この結果は正式な出版がされていないため，証明の十分な吟味が必要ではあるが，この事実は，曲線複体の測地線の構成がHempel距離の評価の改善において非常に有効な手法となることを裏付けている．今年度は，これまでに取り扱ってきた曲面の曲線複体の局所的な構造に関する研究を踏まえて，Johnson[J]の論文における手法を分析し，その手法を精密化することを推し進めた。
[J] J. Johnson, Non-uniqueness of high distance Heegaard splittings, arXiv:1308.4599v1
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