| 研究課題/領域番号 |
15J01000
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
須山 雄介 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| キーワード | 組合せ論 / building set / トーリック幾何 / ファノ多様体 / 有向グラフ / 整凸多面体 / ファノ多面体 |
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| 研究実績の概要 |
Building set とはある有限集合の部分集合族で一定の条件を満たすものであり，building set から非特異で射影的なトーリック多様体を構成することができる．これは有限単純グラフからトーリック多様体を構成する方法の一般化になっており，このようにしてできるトーリック多様体の族は射影空間と permutohedral variety をともに含んでいる．
本年度の研究では，building set に伴うトーリック多様体が Fano になるための必要十分条件を，もとの building set の言葉で記述した．Building set に伴うトーリック多様体は，反標準因子とトーラス不変曲線との交点数を building set の側で計算できることを用いて，純粋に building set の組合せ論で証明される．昨年度，グラフに伴うトーリック多様体が Fano になるための条件を求めたが，本結果はこれを一般化するものであり，グラフに伴う場合とは対照的に，building set には多くのトーリック Fano 多様体が対応することがわかった．
Higashitani は有限有向グラフから整凸多面体を構成する方法を与え，それが滑らかな Fano 多面体（トーリック Fano 多様体と 1 対 1 対応する）になるための必要十分条件を求めた．私はこれに関して，building set に伴う任意のトーリック Fano 多様体は，ある有限有向グラフに伴う滑らかな Fano 多面体から得られるということを示した．証明は，対応するトーリック多様体が Fano になる building set を 3 タイプに分け，各タイプごとに具体的に有限有向グラフを構成することで示される．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
トーリック幾何に関して一定の結果が得られたものの，当初予定していた位相的性質の研究が遅れているため．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き，有限単純グラフや building set に伴うトーリック多様体の代数幾何やトポロジーについて研究していく．
特に，グラフに伴うトーリック多様体の Chern 指標や，building set に伴うトーリック多様体が弱 Fano になるための条件について考察する．
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