| 研究課題/領域番号 |
15J06019
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
神本 晋吾 広島大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| キーワード | resurgent analysis / divergent series / convolution product |
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| 研究実績の概要 |
１ resurgent function の合成績の評価に関して：
近年 resurgent analysis はその解析の有効性から数理物理学において大きな注目を集めている。resurgent analysis は resurgent function のなす空間上で展開される理論であるが、この関数空間の基本的な性質が十分に理解されているとは言い難い。例えば、resurgent function の積、更に進んで収束級数への代入等の解析的な操作を行う上での基礎理論の整備は不十分であった。これらに関して最近 D. Sauzin 氏、Y. Ou 氏、E. Delabaere 氏達により理論整備が進められていたが、平成２７年度は D. Sauzin 氏との共同研究により resurgent function のなす空間の位相的構造を明確にし、複数個の resurgent function の積に関する評価を導出し、resurgent function を収束級数へと代入した際に現れる特異点集合の構造を調べた。更に、ここでの議論を推し進め、resurgent function のなす空間上での逐次近似法の開発を行った。これにより、今まで困難であった Borel 平面上の「曲線に沿った解析」が可能となり、この手法を用いて非線形常微分方程式の不確定特異点における形式解の resurgence の証明を行った。
２ 一般多重総和可能性に関して：
一般の moment に関して漸近展開可能な関数のなす層に対する Watson の補題は知られていたが、Malgrange - Ramis の手法を用いて一般化された相対的 Watson の補題を示し、一般の moment に関する多重総和可能な級数に関する基本的な命題の証明を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
特異摂動の高階微分方程式の解析の困難はWKB解の Borel 変換像の持つ特異点の振る舞いが、直線的な動きでは捉えることのできない複雑なものとなることから生じる。平成２７年度に開発した手法はこのような複雑な振る舞いをする特異点に対して有効な解析手法を提供すると考えられる。特に、Stokes 図形の決定を行う上で重要な役割を果たす、WKB解の Borel 変換像の定める Riemann 面の構造の解明に極めて有効である。このような研究上の本質的な進展が初年度に得られたことはとても大きい。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は初年度に開発した解析手法をより広範な方程式へと応用することを主眼に置いて研究を進めていきたい。初年度に解析を行った非線形常微分方程式は漸近解析における最も基本的な方程式であるが、この手法はより一般の方程式の解析をも可能にすると期待している。特に、特異摂動型の方程式への適用は重要な課題である。既に特異摂動型の１階非線形常微分方程式の場合に考察を進めているが（この場合の形式解の Borel 変換像の定める Riemann 面の構造の解明も未解決な重要な問題である。）通常の常微分方程式の解析では起きない「変数の捩れ」が生じるため、この変数の捩れを上手く扱うことが解決の鍵になることと思われる。
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