| 研究課題/領域番号 |
15J06677
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
赤嶺 新太郎 九州大学, 数理学府, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| キーワード | 平均曲率零曲面 / ミンコフスキー空間 / 平均曲率 / 因果的特性 / 型変化 / null曲線 |
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| 研究実績の概要 |
3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の型変化する平均曲率零曲面の研究の一環として，本年度は円の一径数族で構成される曲面について研究し，以下の2つの研究成果を得た．
(1) リーマン型平均曲率零曲面の因果的特性について：3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の円は，ユークリッド空間の意味における通常の円，2種類の双曲線，放物線の計4種類の円に分かれる．円の一径数族で構成されるリーマン型平均曲率零曲面と呼ばれる非回転面をその因果的特性により完全に分類した．また，その応用として計量の退化集合として光的な直線を持つ特別なクラスに属するリーマン型平均曲率零曲面については，その指標を全て計算した．その結果，α0型と呼ばれるクラス以外の全てのクラスに特定のリーマン型平均曲率零曲面が含まれていることがわかった．第2の応用として，放物線の一径数族で構成されるリーマン型平均曲率零曲面で，空間的全平面の上で定義されるグラフになる平均曲率零曲面の新たな例を発見した．これらの結果をまとめて論文「Causal characters of zero mean curvature surfaces of Riemann-type in the Lorentz- Minkowski 3-space」として学術雑誌に投稿した．
(2) カテノイドの個数問題について：3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の円の一径数族で構成される平均曲率零曲面のうち，回転対称性を持つカテノイドは円のタイプと，曲面の因果的特性により光錐を除き，7種類に分かれる．これらのカテノイドに対して，スペイン・グラナダ大学のRafael Lopez教授との共同研究で「中心がある軸を共有するような 2つの円を空間内に置いたとき，それらを境界に持つようなカテノイドの個数はいくつか？」という境界値問題に対する完全な解を与え，結果をまとめて論文「The number of catenoids in Lorentz-Minkowski space connecting two coaxial circle」として学術雑誌に投稿した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
リーマン型平均曲率零曲面の因果的特性を分類し，その応用として光的な直線を持つリーマン型平均曲率零曲面のクラスを決定した．また，副産物として，空間的全平面上の関数のグラフとなる平均曲率零曲面の新しい例を発見した．これらは，ローレンツ・ミンコフスキー空間内の平均曲率零曲面の基本的な族の重要な性質を決定したものであり，今後の研究を行う際のモデルとして重要な役割を果すことが期待され，研究はおおむね順調に進展していると言える.
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| 今後の研究の推進方策 |
3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の型変化する平均曲率零曲面の研究の一環として，現在までに考察できている例を足掛かりにして，型変化する平均曲率零曲面が型変化する非退化null曲線の近傍でどのような振る舞いをするか，また大域的にはどのような性質があるかということについて考察を行う．また光的な直線を持った平均曲率零曲面をどのようにして捉えるかを模索していきたいと考えている．特に，リーマン型平均曲率零曲面を考察することでは得られなかった光的な直線を持つα0型の平均曲率零曲面については，当初の計画の一つであった未解決であるα0I型で空間的な曲面，及びα0II型で型変化する曲面の存在，非存在問題の考察も含め，今後取り組んでいこうと考えている．
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