| 研究実績の概要 |
本研究の目的は, 群行列式を拡張することにより, 群行列式に関するFrobeniusの定理の一般化を得ること, またそれを用いて有限群とその表現論へ応用することである. 研究者は特別研究採用以前の研究において, 以下の結果を得ていた.
二面体群と一般四元数群の, 非自明な群行列式の因数分解(既約分解ではない)を発見した.
これは群行列式を群環上に拡張することによって得られた. 本年度における研究により, いまの結果を一般の有限群について拡張した. 次がその結果である.
群行列式を群環上に拡張することによって, 有限群の群行列式がその群の可換な部分群の既約指標を用いて因数分解できることを示した.
上の研究結果をいくつかの学会で発表した. 現在はこの結果を論文としてまとめている最中である. また上の結果の特別な場合をarxivに載せ, 論文誌に投稿中である（特別な場合とは, 有限群が可換な場合である. この場合は非可換行列式を用いなくても, 指標理論を用いて証明することが出来る）.
さらに以上の研究により, 非可換行列式と有限群論, その表現論との関連性が示唆された. 例えば, 群の移送の性質は非可換行列式（これはStudy行列式の拡張であり, デュドネ行列式と関連がある）により自然に理解できることがわかった（この非可換行列式により移送を理解するという考えは, 梅田亨氏のアイデアに基づいている）. この群の移送の結果に関してもいくつかの学会で発表を行い, arxivに載せ, 論文誌に投稿中である.
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