| 研究課題/領域番号 |
15J08115
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
細野 元気 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| キーワード | 複素多様体 / 特異エルミート計量 / 多重劣調和関数 / カレント / Siu分解 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目標のひとつは、複素多様体上の特異エルミート計量のふるまいを通して、複素多様体に関する知見を深めることである。本年度の研究は、特異エルミート計量を構成するために用いられる関数である多重劣調和関数についての理解を深めることを目標にした。
多重劣調和関数uに対して、uの極が余次元pの解析的集合に含まれるとき、(dd＾c u)＾pの形で表される正閉(p,p)-カレントを定義することができることが知られている。また、一般に、正閉(p,p)-カレントは、余次元pの解析的集合上の積分と、余りの部分の和として表すことができる(Siu分解と呼ばれる)。Rashkovskiiの結果により、原点に極を持つトーリック多重劣調和関数uに対して、(dd＾c u)＾nのSiu分解が与えられている。この結果を、極が原点以外の場合にも拡張できることを確かめた。
p=1の場合、dd＾c uのSiu分解は、コホモロジー類の因子的Zariski分解と関係していることがBoucksomにより示されている。Zariski分解は、与えられた因子の正の部分と負の部分に分解し、これにより幾何学な性質を調べることができるというものである。Siu分解の解析的集合上の積分の部分がZariski分解の負の部分に対応しており、(dd＾c u)＾pのSiu分解を研究することにより、サイクル類に対するZariski分解の類似を与えられ、そのような点からも複素多様体の研究につながるのではないかと期待できる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績にある通り、複素多様体上の特異エルミートの性質についてのRashkokvskiiによる既存の研究を発展させることができた。同様の性質を用いた議論により、(p,p)-カレントのSiu分解によるZariski分解の類似を与えることについても、いくつかの具体例に関しては成功している。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の方策として、サイクル類に対するZariski分解の類似に関して、本年度得られた具体例に関する知見から、ある程度広いクラスの複素多様体に対する研究を進めていくことが挙げられる。
また、(dd＾c u)＾nという形のカレントの性質は、同じ形の積を用いて定義される非線形偏微分方程式である複素Monge-Ampere方程式と密接な関係がある。同様に、p<nに対する(dd＾c u)＾pという形のカレントも、複素Hessian方程式と呼ばれる非線形偏微分方程式と関係している。そこで、複素Monge-Ampere方程式や複素Hessian方程式に関する研究を行うことを考えている。特に、強い特異性をもつ関数に対してこれらの方程式の研究を進めていくことが重要である。
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