| 研究課題/領域番号 |
15J08115
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
細野 元気 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| キーワード | 大沢竹腰の拡張定理 / ジェット / 部分多様体 / 多重劣調和関数 / 最小特異性計量 |
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| 研究実績の概要 |
本年度の主な研究成果は以下のとおりである。
(1)大沢-竹腰のL2拡張定理の改良に関する研究：久本により、大沢-竹腰のL^2拡張定理を用いて、特異エルミート計量の拡張問題が解決できるという考察がなされている。その際に、ジェットを指定した拡張を行うこと、そのときのL2ノルムの評価をより精密にすることの2点について改良が必要とされている。そこで、Berndtsson-Lempertによる最良定数のL2拡張定理の証明の手法を参考に、ジェットを指定した拡張定理を示す研究を行った。結果として、Cn内の擬凸領域について、部分多様体の形状などに関する仮定を設ければ、Berndtsson-Lempertによる手法を用いてジェットを指定した最良定数の拡張定理を得た。一方、この手法でも、久本の提案する手法では拡張問題の解法は得られないことも分かった。
(2)トーリック多重劣調和関数の空間における測地線に関する研究：Cn内の擬凸領域上の多重劣調和関数の空間の測地線がRashkovskiiにより考察された。特異性の強い多重劣調和関数について、測地線の連続性がいつ成り立つかという問題を、単位球上のtoric多重劣調和関数という扱いやすい関数について考察した。結果として、測地線の連続性、端点の関数のLelong数を用いて特徴づけられることを示した。
(3)安定基点集合が正則管状近傍を持つような直線束の最小特異性計量に関する研究：直線束の特異エルミート計量のうち、最も特異性が少ないもの(ウェイト関数の発散が最も弱いもの)を、最小特異性計量と呼ぶ。最小特異性計量を具体的に表示することを目標にして研究を行った。
報告者は、小池の論文において余次元1という状況下で行われていた議論を、余次元が高い場合に適用した。これにより、重要な例を含む多くのクラスについて、最小特異性計量を決定することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上記(1)の研究により、ジェットを指定した大沢-竹腰のL^2拡張定理について最良定数の評価が得られ、大きな進展を得た。一方、現状では久本による手法で必要な評価は得られておらず、今後別の方策を考える必要がある。
他にも、(2)(3)の研究により、複素幾何・多変数関数論における多重劣調和関数の問題、特異エルミート計量の問題について進展を得た。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1)大沢-竹腰のL^2拡張定理のBerndtsson-Lempertの手法による証明を、コンパクトKahler多様体に対して適用すること。
(2)久本の提案した手法を改良して、現状得られている拡張定理から特異エルミート計量の拡張を得ること。
(3)それ以外の多重劣調和関数や特異エルミート計量の関係する問題について、積極的に考察や意見交換を行うこと。
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