| 研究課題/領域番号 |
15J08505
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
大内 元気 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| キーワード | 導来圏 / 安定性条件 / 超ケーラー多様体 / エントロピー |
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| 研究実績の概要 |
本年度は新しいホモロジー的射影双対の例の発見を目指す予定であったがこの方向では成果をあげることはできなかった。しかし、計画にあった4次元3次超曲面やK3曲面の研究は進めることができた。これら2つの代数多様体は、高次元超ケーラー(複素シンプレクティック）多様体の例の構成において重要である。超ケーラー多様体の対称性は、格子理論などを用いて盛んに研究されている。近年では、マシュー群やコンウェイ群などの例外型有限単純群がある種の超ケーラー多様体の自己同型群と関係することがわかってきておりその神秘性は増す一方である。本年度は、超ケーラー多様体の対称性について先に述べたような有限群論的な視点とは異なる無限自己同型の位相的エントロピーといった複素力学系的な視点に基づいて研究した。まず、代数的K3曲面の連接層の導来圏上に正の圏論的エントロピーをもつ自己同値が存在することを示した。そして、そのような自己同値が導来圏の安定対象のモジュライ空間上に正エントロピー自己同型を誘導し得るかという問題に取り組んだ。K3曲面上の安定対象のモジュライ空間は超ケーラー多様体の重要な例である。結果として、正エントロピー自己同値であってモジュライ空間上に正エントロピー自己同型を誘導する例、しない例をそれぞれ発見した。この違いは安定性条件の空間の壁の様子によって生じることがわかった。ピカール数2で6次元以上の超ケーラー多様体で正エントロピー自己同型をもつ例はこれまで知られていなかったが上記の方法で構成することができた。また、判別式74の一般の4次元3次超曲面上の直線のファノスキーム上に正エントロピー自己同型が存在することを、KuznetsovのK3圏とK3曲面の同値と上記の手法を合わせることで示した。この4次元3次超曲面はKuznetsov予想とGalkin-Shinder予想において重要な例である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
ホモロジー的射影双対性についての成果は得られなかったものの、自己同型の研究について予期していなかった成果をあげることができた。この自己同型の研究は当初計画にあった4次元3次超曲面の有理性に関するKuznetsov予想とGalkin-Shinder予想の研究にも関係する。また、導来圏の半直交分解を用いて代数多様体の幾何学を調べるというのは計画当初にもあったアイディアである。
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| 今後の研究の推進方策 |
圏論的エントロピーの基礎理論は十分整備されているとは言えない。また、今回自己同値がモジュライ空間上の自己同型を誘導する例を構成した際に、ピカール数1のK3曲面上の安定性条件の空間が連結であることを用いた。この事実はピカール数が1より大きい場合にはまだわかっていない。今後今回用いた概念に関する基礎研究も視野に入れる。
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