| 研究課題/領域番号 |
15J08790
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
内藤 貴仁 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| キーワード | ストリングトポロジー / ループ空間 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は昨年度に引き続き、Sullivanの余積、特にループホモロジーのHodge分解と呼ばれる直和分解と余積との関連性について調べた。ここでpureという条件の付く多様体のクラスを考える。pureとは単連結位相空間のホモロジー代数的な条件（正確には空間の極小Sullivanモデルに関する条件）であり、球面、複素射影空間や等質空間といった重要な例を含むクラスを成している。昨年度与えたSullivan余積の有理モデルとpureという条件を考察する事でHodge分解とSullivan余積との関連性を調べた。
その結果与えられた単連結多様体がpureの場合、有理ホモトピー群の奇数次部分の次元と偶数時部分の次元の差が、Sullivan余積のHodge分解の次数と関連する事を発見した。正確に述べると、次元の差が２以上の場合はSullivan余積が自明となり、差が１の場合は次数を１上げることを示す事が出来た。特にこの結果は昨年度与えたコンパクト単連結Lie群のSullivan余積に関する結果の一般化である。
更にSullivan余積の基点付きループ空間版を考え、その性質についても調べた。この場合、与えられた多様体がpureならば、Sullivan余積の基点付きループ版が有理数体上で自明となる必要十分条件を与える事が出来た。この条件を観察すると、自由ループ空間の場合と比べ、基点付きループ空間の場合はSullivanの余積が非自明となる多様体はとても少ない事が判明した。しかしながら、自由ループ空間の時と同様にHodge分解との関連性を調べると、Sullivan余積が(次数のシフトの差を除いて)次数を保つ事と、多様体の有理Whitehead積の自明、非自明性との関連性が垣間見られた。これは自由ループ空間の場合には現れなかった現象である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度はSullivanの余積がループホモロジーのHodge分解に対し良い振舞いをする事、基点付きの場合は有理Whitehead積と関連する事を示す事に成功した。これはトゥラエフ・リー余代数の高次元化とホモトピー論との関連性を示すものであると思われ、研究は順調に進展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後はマグナス展開に着目し研究を行う。これまではマグナス展開を用いてSullivanの余積を調べる予定であったが、今年度の研究によりマグナス展開とSullivanの余積の間には密接な関係がある事が少しづつ見えてきた。今後はこの関係性を明確にしていく。
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