| 研究課題/領域番号 |
15J09117
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
江尻 祥 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| キーワード | 代数的ファイバー空間 / 飯高予想 / 小平次元 / 弱正値性定理 / 標準束公式 / F特異点 / ファノ多様体 / 反標準因子 |
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| 研究実績の概要 |
正標数の代数的ファイバー空間について、その幾何学的一般ファイバーが-純である場合に研究を行った。F-純性は多様体のフロベニウス射によって定義される局所的な性質であり、正標数に特有の概念である。これまでは幾何学的一般ファイバーのフロベニウス安定標準環が十分大きい場合を主に扱っていたが、これはフロベニウス射によって定まる大域的な性質である。滑らかな射影多様体の場合には、F-純性は満たされるが、フロベニウス安定標準環が十分大きいとは限らない。
今年度の研究では、相対標準因子が底空間のあるQ-因子Lの引き戻しとQ-線形同値であるとき、Lは擬有効となることを証明した。これは弱正値性定理の一つとみることができる。またこの結果と、最近発展した正標数の３次元極小モデル理論を用いることで、全空間が３次元の場合に正標数の飯高予想が正しいことを示した。これは本年度の研究実地計画に掲げた目標の一つであった。ここで飯高予想とは全空間、底空間、一般ファイバーの小平次元の関係についての予想であり、小平次元とは多様体の双有理分類理論において重要な役割を果たす双有理不変量である。
同様の手法により、全空間の反標準因子の持つ正値性が底空間の反標準因子の持つ正値性に与える影響についても調べた。それにより、標数０においては弱ファノ多様体の滑らかな射による像が再び弱ファノとなる、という藤野-權業による結果を、正標数の場合に証明した。
加えて任意標数において、ファノ多様体の像は再びファノ多様体となることを、特殊ではあるが滑らかとは限らない射の場合に示した。さらに滑らかな一般ファイバーを持つ全射について、像が正の次元を持つならば、反相対標準因子はネフかつ巨大にはなり得ないことを証明した。これらは90年代にコラー-宮岡-森により示された結果の一般化となっている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
目標の一つであった全空間が３次元の場合の正標数における飯高予想を解決できた。さらに、計画を立てた当初は予期していなかった反標準因子の正値性に関する結果を得ることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の研究では、前年度とは異なる条件の下で弱正値性定理を証明した。ファイバーの仮定を弱めることはできたが、代わりに相対標準因子に強い仮定を置いている。今後は弱正値性定理が成り立つ新しい条件の発見を目標とする。まずは全空間が３次元の場合に考察する。これには３次元の極小モデル理論を用いる。また飯高予想についても新しい条件の下で考える。標数０の場合には、予想が成り立つための幾何学的一般ファイバーや底空間に関する十分条件がいくつか知られている。これらの正標数への拡張を目標とする。
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