| 研究実績の概要 |
本年度は量子座標環の既約表現と量子包絡環の冪零部分代数との関係について標準基底を用いて考察を深めた.
量子座標環とは連結単連結複素半単純代数群の関数環にパラメータを加えて変形した環である. これは通常の関数環とは異なり非可換な環となるが, そのためその表現論は通常の関数環とは大きく異なる. ここで, 量子座標環の既約表現のうち重要なクラスが小さな既約表現のテンソル積によって得られることがSoibelmanの研究でよく知られていた.さらにKuniba-Okado-Yamadaらによる研究によりこれらの既約表現の表現空間は量子包絡環の量子冪零部分代数と呼ばれる空間と自然に同定されることが指摘されていた.
私は本年度の研究において上記の量子座標環の表現の表現空間と量子冪零部分代数が自然に同定されるという事実を, 量子包絡環の標準基底を用いる方法で再証明した. この方法によりKuniba-Okado-Yamadaらにより調べられていた有限型より広く, 対称化可能Kac-Moody Lie環に対してこの同定は同様に行えるものであることも証明された. また量子冪零部分代数は代数なので掛け算構造が入っているが上記の同定の下でその代数の元の掛け算作用素に対する量子座標環の元がどのようなものになるかを完全に理解することができた.
さらにその証明過程で用いた考え方を用いて可約な量子座標環のテンソル積表現に対しても, その表現空間が同様に量子包絡環を用いて記述されるものがあることを見出した. そのとき量子座標環の作用は先と同様量子包絡環の積構造を用いて表され, さらにこの実現を用いることで, ある可約な量子座標環のテンソル積表現は量子座標環と量子包絡環のDrinfeld doubleの表現に持ち上がるということを証明した. 以上の内容は現在論文にまとめ投稿中である.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Kuniba-Okado-Yamadaで観察された量子座標環の既約表現と量子包絡環の量子冪零部分代数との関係については,十分な理解ができたと思われる. また,その理解において自身の取った標準基底を用いた計算による方法は, 対応するLie環が有限型に限らず対称化可能Kac-Moody Lie環であっても適用できる方法であったことは成功した部分と言える.さらに, 従来の量子座標環のテンソル積表現においては既約表現を研究することが主であったが, 既約でないものの中にもDrinfeld doubleとのつながりで面白い性質を持つものを見いだせたのは当初予想していなかった結果であった. またこの課題に取り組む過程においては標準基底の元をPBW基底で表示した際に現れる係数について考察する必要があったが, ここで得られた方法は対応するLie環が対称型の場合にその係数が正値性を持つことの容易な別証明を与えていたことが分かった.
一方で, この同定を用いて量子座標環や量子包絡環の表現論, 構造論の従来の問題に応用するという点においてはまだ満足のゆく結果は得られていない. さらに可約な表現のうちDribfeld doubleの表現に延長するものがあるという結果に関しては現時点では計算による証明のみしか与えられていないのでこの結果のよりよい意味付けを与えることは次年度以降の課題である.
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度得られた量子座標環の表現と量子包絡環の関係を量子包絡環の構造論の問題に応用することを考える. さらに, 可約な表現のうちいくつかがDrinfeld doubleの表現に延長するという結果に意味付けを与えることを考える. この問題に関しては量子旗多様体の座標環を用いることが良い可能性が示唆されている.
量子座標環の積構造について量子座標環を量子包絡環らに埋め込む操作を介して調べるという方向も当初考える予定であったが, 表現を調べる過程でこの埋め込みを用いるうちにこの方向は難しいことがわかってきた. このため大きな進展のない限りこの方向は一度見合わせる予定である.
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