| 研究実績の概要 |
準遺伝代数は遺伝鎖と呼ばれるべき等イデアルの列で定義される大域次元が有限な代数のクラスである. Ringel は Iyama の表現次元の有限性定理を契機とし, 準遺伝代数の特別なクラスとして片側強準遺伝代数を標準加群を用いて導入した. 片側強準遺伝代数の強みの一つは, 大域次元の上からの評価を準遺伝代数より厳しく与えることができる点である. 更に Ringel は両側強準遺伝代数の概念を片側強準遺伝代数の特別なクラスとして導入し, その大域次元が 2 以下となることを示した.
昨年度までに, 片側強準遺伝代数及び両側強準遺伝代数に遺伝鎖や削除部分圏を用いた特徴付けを与えた. 削除部分圏による特徴付けでは, Iyama により導入された削除鎖の概念を用いた. 特にこの結果から, アルチン代数 A が両側強準遺伝代数となることと有限生成射影 A 加群のなす圏が削除鎖を持つことが同値であることが従う. そこで該当年度では有限生成 A 加群のなす圏が削除鎖を持つことを代数の言葉で特徴付けた. 有限生成 A 加群のなす圏が削除鎖を持つことと A が中山代数となることが同値であることを証明した. またその系として, Auslander 代数が両側強準遺伝代数となる特徴付けを次で与えた. A を有限表現型のアルチン代数とし, B をその Auslander 代数とする. このとき, B が両側強準遺伝代数となることと A が中山代数となることが同値である. 更に Auslander-Dlab-Ringel 代数についても同様に両側強準遺伝代数となる特徴付けを削除鎖を用いて考察した.
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