| 研究課題/領域番号 |
15K00025
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
関川 浩 東京理科大学, 理学部, 教授 (00396178)
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| 研究分担者 |
白柳 潔 東邦大学, 理学部, 教授 (80396176)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 数値数式融合計算 / 安定化理論 / 近似 / 誤差 / 代数方程式 / 最短ベクトル / 有理標準形 / 一般逆行列 |
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| 研究実績の概要 |
代数問題に対し、着目している性質（実根の数など）が、多項式の係数などの誤差が十分小なら確定する場合を安定な場合、そうではない場合を不安定な場合と呼ぶ。また、最近接問題とは、着目している性質を持たない入力に対し、それにもっとも近くその性質を持つ対象を探す問題である。代数問題が不安定な場合、誤差のある入力に対して単純に計算した結果は無意味なので、適切な問題を再設定する必要がある。
研究実施計画の課題(1)は、代数問題に対し、係数の摂動が解に与える影響の理論的な解析、課題(2)は、課題(1)の結果を利用して係数に誤差のある代数問題に対し最近接問題を考え、不安定な場合は再設定した問題の解を、安定な場合は着目している性質が保たれる係数の摂動限界を求めるアルゴリズムの構成である。課題(3)は、課題(2)で構成したアルゴリズムの安定化理論などを用いた信頼性を損なわない効率化である。
平成２７年度に得た課題(1)、(2)に対する主な成果は、一変数多項式の零点の位置に着目した最近接問題において、従来、零点が一つの場合に限られていたものを複数の場合に拡張し、アルゴリズムを構築する方針を国際会議にて発表したこと、多項式間の距離を係数ベクトルの2ノルムで測る場合に具体的なアルゴリズムを構成し研究会にて発表したことである。
課題(3)に対する主な成果は、課題(3)における主要な計算手段の安定化理論を単独に利用する方法（安定化手法）あるいは計算履歴とともに利用する方法（ISCZ法）を、Sturmのアルゴリズム、最短ベクトルを求めるアルゴリズム、行列の有理標準形を求めるアルゴリズム、一般逆行列を求めるアルゴリズムに適用した実験を行い、どのような場合に有効かを調べ、さらにISCZ法については効率化するための新しいアイデアを提案してその有効性を確認し、以上の結果を研究会にて発表し一部を論文化したことである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成２７年度の予定は、平成２６年度より予備的に開始していた１．連立代数方程式に対し、解の個数に対する係数の摂動の影響を解析すること（課題(1)）、および、解の個数を保つ摂動限界を計算すること（課題(2)）、また、複数の一変数代数方程式に対し、指定した根を持つ、という性質に注目した課題(1)、(2) の研究をさらに進めること、２．種々の問題について課題(3)に挙げたアルゴリズムの効率化を進めることであった。
１のうち、連立代数方程式に対する研究に明確な進展はなかったが、複数の一変数代数方程式に対する問題については、予備的研究をまとめ前年度に投稿した論文が条件付採録となったので、修正を行った。また、新たに、一変数代数方程式に対して複数の零点を指定した最近接問題を取り上げ、国際会議および研究会での発表を行った。
２については、Sturmのアルゴリズム、最短ベクトルを求めるアルゴリズム、行列の有理標準形を求めるアルゴリズム、一般逆行列を求めるアルゴリズムに安定化理論を適用した実験を行い、どのような場合に有効かを調べ、さらにISCZ法については効率化するための新しいアイデアを提案してその有効性を確認し、以上の結果を研究会において発表し一部を論文化した。
以上より、研究はおおむね順調に進展しているといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず、平成２６年度に予備的な研究を行った項目のうち、平成２７年度には進展のなかった連立代数方程式に関する研究を発展させることがある。その実験を行うために必要な、この問題に特化した形での計算幾何学の研究を進める予定である。また、平成２７年度に研究を開始した、一変数代数方程式で複数零点を指定した最近接問題について、多項式間の距離を2ノルム以外で測った場合への拡張も研究を進めたい。こちらについても幾何学的な考察を行うことにより問題の見通しがよくなることを予想している。
課題(3)については、平成２７年度に得た結果の論文化、さらに新しいアイデアを組み込んだISCZ法を他の問題に適用することを計画している。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
関川に次年度繰越金37,304円の生じた理由は以下の通りである。
平成２７年８月に参加した国際会議Third Workshop on Hybrid Methodologies for Symbolic-Numeric Computationにて成果発表する際、現地滞在費（６泊分）が補助されることになったため119,400円の余剰金が生じた。余剰金を物品費および国内旅費などとして使用したが37,304円の繰越金が生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成２８年度に使用する研究費のうち、主だったものは以下の予定である。
まず、平成２７年度末から平成２８年度初めに掛けて得られた研究成果を、ウォータール（カナダ）において７月に開催される国際会議International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation 2016にて発表するための外国旅費、会議参加費として使用する（関川）。また、情報収集、研究者との議論、新たな成果の発表などのため、国内で開催される学会、研究会に参加するための旅費として使用する（関川、白柳）。
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