| 研究課題/領域番号 |
15K04771
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| 研究機関 | 北海道教育大学 |
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研究代表者 |
後藤 泰宏 北海道教育大学, 教育学部, 教授 (40312425)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 形式群 / 3次元カラビ・ヤウ多様体 / デルサルト型多様体 / 数論幾何 / 国際研究者交流（カナダ） |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、3次元カラビ・ヤウ多様体を正標数の体上で考え、形式群を中心とした数論的性質を探ることである。考察する3次元多様体は、Borcea-Voisin型多様体とその一般化、及び3次元重さ付きデルサルト型多様体とその変形などである。そのような多様体の形式群について、高さのデータを集めるとともに自己同型群等との関係を探る。そして最終的には、形式群とミラー対称性の関係性について考察する。
研究2年目の平成28年度は、正標数の3次元カラビ・ヤウ多様体の形式群に関する変形理論を吟味し、形式群と多様体の自己同型群との関係を探った。特に、多様体の自己同型写像が多いほど形式群の高さが小さくなるという実例が得られているので、そのような傾向が一般の３次元カラビ・ヤウ多様体にもあるのかどうか調べた。また、27年度に得た計算結果を参考にしつつ形式群以外の研究の観点（不変量）を探るとともに、27年度に新たに得た問題意識について考察を進めた。特に、3次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さがホッジ数に関係していることから、ホッジ数に焦点を当てて多様体の不変量を調べた。研究協力者の由井典子氏（カナダ・クイーンズ大学教授）との2回の打ち合わせ（東京とカナダ）を通して、28年度は次のような成果を得た。
(1) 3次元カラビ・ヤウ多様体の形式群に関する既知の理論を再吟味し、形式群以外に研究の観点となりえる数量（不変量）を調べた。
(2) 多様体の幾何的性質と形式群の高さの関係性を調べ、シンプレクティックな自己同型写像が多いほど形式群の高さが小さくなることを確認した。
(3) 27年度に得た問題意識として、同じホッジ数を持つ多様体の形式群について共通の性質があるのかどうか調査し、一部で類似性を確認した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成28年度は正標数の3次元カラビ・ヤウ多様体の形式群に関する変形理論を吟味し、形式群と多様体の自己同型群との関係を探ることと、形式群以外の研究の観点（不変量）を見つけることを目標としていた。また、同じホッジ数を持つ3次元カラビ・ヤウ多様体に対して、その形式群が共通（もしくは類似）の性質を持つのかという、27年度に得た問題意識についても考察を進めることとした。
そのような新たな課題に取り組んだことから、研究開始当初の計画に若干の変更が生じ、既知の理論の再吟味と形式群以外の不変量を見出す作業に少し遅れが発生した。また、所属大学の管理運営業務の増加により研究時間がやや減りつつある。しかしながら、正標数の変形理論を一定程度吟味することができ、形式群と自己同型群との関係を確認することができたことと、同じホッジ数を持つ多様体の形式群について共通の性質があるのかどうか調査できたことから、研究全体としては、おおむね順調に進展していると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もおおむね当初の計画通りに研究を進める予定である。研究計画の最後の年に当たる平成29年度は、形式群とミラー対称性の関係性について考察する。現段階で既知の理論の再吟味と形式群以外の不変量を見出す作業に少し遅れが発生しているので、当初予定していたとおり、まずはミラー対称性を持つことが分かっている3次元カラビ・ヤウ多様体を検討する。具体的には、ミラー対称性を持つ多様体の形式群の高さの特徴を探っていく。その進捗状況を見ながら（ミラー対称性を持つとは限らない）3次元カラビ・ヤウ多様体の形式群についても調べていく。これまでと同様、計算ソフトMagmaを使った計算機実験も行う計画である。
研究協力者の由井氏とは、29年度もメールによって定期的に連絡を取り合い形式群に関する助言を求める。由井氏との集中的な打ち合わせは、東京と北米で1回ずつ行いたい。成果発表は、国内と国外で1度ずつを予定している。また、研究協力者の由井氏以外にも、ミラー対称性の専門家に適宜助言を求めながら研究を進める予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度には190,282円が繰り越されることとなった。その主な要因は、計算ソフトMagmaのライセンス更新が不要であったことと、海外（バンフ）の研究集会に参加した際の宿泊費が先方負担となったことによる。また、謝金を伴う研究依頼の必要も生じなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
上記繰越金については、計算ソフトMagmaのライセンス更新か、29年度5月に開催予定の国際研究集会の開催費用に充てたい。すでに配分予定の次年度研究費については、当初の予定通りに使用する計画である。
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