| 研究課題/領域番号 |
15K04773
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
山崎 隆雄 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00312794)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 代数学 / 数論幾何 / 代数幾何 / 整数論 / モチーフ |
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| 研究実績の概要 |
Voevodsky は混合モチーフの導来圏にあたる三角圏を構成したが、その際「ホモトピー不変性」という性質を基礎に置いていた。しかし、曲線のモジュラス付き（一般）ヤコビ多様体、
可換代数群、微分形式やde Rham-Witt微分形式の層など、モチーフ論における基本的な対象で
ホモトピー不変性を満たさないものは多い。これらを扱えるような理論を構築することがこの研究の目標である。
この問題について、Bruno Kahn氏・斎藤秀司氏との共同研究で、モジュラス付きモチーフの三角圏を構成した。これはVoevodsky の三角圏を真に大きくした三角圏であり、多様体とモジュラスのペアに対しては「モジュラス付きモチーフ」と呼ばれるこの圏の対象が自然に定まる。この圏についてこれまでに得られた最も重要な成果は、射の空間が高次Chow群に同型となることが、特別な場合だけではあるが、証明されたことにある。これはVoevodskyの圏における基本性質の類似である。
Voevodskyの三角圏がホモトピー不変な Nisnevich 層の圏と密接にかかわったように、我々の圏は Weil 相互律を満たす Nisnevich 層（相互層）の圏と密接にかかわりがある。相互層は昨年度までに我々が詳しく研究してきた。上で挙げた曲線のモジュラス付きヤコビ多様体、可換代数群、微分形式の層、de Rham-Witt微分形式の層などはすべて相互層であることが確認されている。
Kay Ruelling 氏との共同研究で、相対曲線のモジュラス付きSuslinホモロジーを計算した。これはSuslin-Voevodskyによるモジュラスのない計算を一般化したものとみなせる。しかしながら、モジュラスがあるとホモトピー不変性が成り立たないため、証明には全く異なる原理が必要となる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の最大の目標である、モジュラス付きモチーフの三角圏を構成することに成功した。この結果はすでにプレプリントとして公開している。これにより、当初の計画よりもずっと早く研究が進展しているといえる。ただし、その基本性質でまだ十分には解明されていない点が課題として残っている。
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| 今後の研究の推進方策 |
構成に成功したモジュラス付きモチーフの三角圏の基本性質を明らかにする。そのための初めのステップとして、相対曲線のモチーフを計算する。これには、本年度にKay Ruelling氏との共同研究で得られた、相対曲線のモジュラス付きSuslinホモロジーの計算が応用できると見込んでいる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
３月２７から４月１０日と年度をまたいで海外出張を行ったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
上記の海外出張うち、４月１日から４月１０日の分の旅費として使用する。
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