| 研究実績の概要 |
今年度は先ず一般次数の法pジーゲル保型形式に対して微分作用素を如何にして構成するかを研究した。階数gの斜交群に対するジーゲル多様体の幾何と次数gの一般線形群GLgの代数的モジュラー表現のテンソル積の具体的な分解を用いて計画通り計算を遂行した。テンソル積の分解は古典的には最高重さで記述されるピエリ分解を具体的に書き下すことに他ならないのであるがわれわれの設定は正標数であるため完全可約性が成り立たないことが困難な点であった。そこでBocherer-Nagaokaの構成したRamanujan 微分作用素の一般化を幾何的に構成することを最初の目的としこれを実行した。計算の鍵となったのは次元gの2次対称表現のg次対称表現の中に標準的な階数1の判別式表現の2乗が直和因子として入っていることを証明しそれを具体的に与えられた対称子で切り出してくることであった。これによりBocherer-Nagaokaの構成したRamanujan 微分作用素の像の幾何的な挙動, 超特異軌道への制限の振る舞いを解析することに成功した。
続いて階数2の場合にこれまでに調べていたテータサイクルを見直しガロア表現の保型性と合うテータサイクルの存在を調べた。その結果、ジーゲル形式の重さをk1,k2とする場合その差が0,1の場合に限って長さが(p-1)/2のテータサイクルを構成することができそれ以外の場合は長さp-1のテータサイクルが構成できることを示した。さらにこのテータサイクルを用いて法pガロア表現の局所ガロアタイプから古典的なセール重さを定義し, 保型的な法pガロア表現がp通常, テイラーワイルス条件を満たすような設定下において実際にそのセール重さを実現する保型形式を取ってくることができることを証明した。
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