多変数のゼータ関数の数論的性質の研究

2016 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04788
• 研究機関: 首都大学東京
• 研究代表者: 津村 博文 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (20310419)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2018-03-31
• キーワード: ゼータ関数 / 整数論

研究実績の概要

本年度は研究計画で述べた多変数のp進多重L関数に関する論文（連携研究者の古庄英和氏、小森靖氏、松本耕二氏との共著論文）が出版された。この研究の関連として、いわゆるp進多重ポリログ、p進多重Lポリログの負の整数点での値と、多変数のp進多重L関数の値の関係に関する研究を継続している。またEuler型の複素多重ゼータ関数の特異点解消に関する論文（連携研究者の古庄英和氏、小森靖氏、松本耕二氏との共著論文）も出版された。この研究は、これまでに荒川恒男氏と金子昌信氏によって定義された Arakawa-Kaneko ゼータ関数との関連が興味深く、特に負の整数点での関係が明示的に得られることを目標に研究を続けている。実際、その観点からの派生的な研究の一つとして、小森氏との共同研究で、二次の一般線形群に付随する荒川-金子型ゼータ関数の構築に成功して、論文として公表し、既に日本数学会の欧文紀要（J. Math. Soc. Japan）への掲載が決定した。この結果は、既知の結果をかなり幅広く含むものとして評価できるものであると考えられる。また昨年度からの継続として、金子昌信氏とのポリベルヌーイ数の研究において、その補間関数としての新たなゼータ関数を構成し、その性質から、いわゆるポリベルヌーイ数の duality 公式を一般化することができた。これについても既に Nagoya J. Math. に掲載が決定しており、この分野の研究の基礎的な部分の発展事項として評価されている。その関連として、金子氏および櫻井ふみ氏との共同研究で、ポリベルヌーイ多項式に関する duality 公式も証明することができ、その論文の J. Theor. Nombres Bordeaux への掲載が決定した。また H. Bachmann 氏との多重Eisenstein級数の研究についても論文を発表することができた。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究実績の項でも述べたように、以下の3本の論文の掲載が決定した：
1. Y. Komori and H. Tsumura, On Arakawa-Kaneko zeta-functions associated with GL_2(C) and their functional relations, to appear in J. Math. Soc. Japan.
2. M. Kaneko and H. Tsumura, Multi-poly-Bernoulli numbers and related zeta functions, to appear in Nagoya Math. J.
3. M. Kaneko, F. Sakurai and H. Tsumura, On a duality formula for certain sums of values of poly-Bernoulli polynomials and its application, to appear in J. Theor. Nombres Bordeaux.
これらの結果を鑑み、当初の研究計画が順調に進展していると考えられる。

今後の研究の推進方策

本課題の最終年度である29年度に向けて、現在取り組んでいるものをさらに進展させたいと考えている。一つには、小森氏、松本氏と取り組んでいる多変数の Witten型ゼータ関数の関数関係式について、取り一層の研究を深めていきたい。現在新たな視点からの研究に取り組んでおり、いくつかの非自明な結果を得ている。これらを精査して、一般論を構築し、29年度に論文として発表することを目標としている。またp進多重ゼータ関数およびポリベルヌーイ数に関連して行っている共同研究に関しても継続的に取り組んでいく。

次年度使用額が生じた理由

28年度3月にフランス・Lille第一大学で開催された日仏二国間共同研究集会 `French- Japanese Zeta Functions' に、参加・講演の予定であったが、校務の都合で急に出席できないことになったため、その分の繰越額が発生した。

次年度使用額の使用計画

29年度5月～6月に、ドイツ・マックスプランク数学研究所に滞在し、同研究所滞在中の研究者との共同研究を予定している。この繰越額をその旅費・滞在費として使用する。既に招聘も確定しており、そのための具体的な手続きに入っている。

研究成果

• [雑誌論文] Fundamentals of p-adic multiple L-functions and evaluation of their special values (2017)
  • 著者名/発表者名: H. Furusho, Y. Komori, K. Matsumoto and H. Tsumura
  • 雑誌名: Selecta Math. 巻: 23 ページ: 39-100
  • DOI: 10.1007/s00029-016-0233-2
  • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
• [雑誌論文] Desingularization of complex multiple zeta-functions (2017)
  • 著者名/発表者名: H. Furusho, Y. Komori, K. Matsumoto and H. Tsumura
  • 雑誌名: Amer. J. Math. 巻: 139 ページ: 147-173
  • DOI: 10.1353/ajm.2017.0002
  • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
• [雑誌論文] On multiple series of Eisenstein type (2017)
  • 著者名/発表者名: H. Bachmann and H. Tsumura
  • 雑誌名: Ramanujan J. 巻: 42 ページ: 470-489
  • DOI: 10.1007/s11139-015-9738-0
  • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
• [学会発表] 多重ベルヌーイ数に関する最近の話題 (2016)
  • 著者名/発表者名: 津村博文
  • 学会等名: 大分整数論研究集会
  • 発表場所: サテライトキャンパスおおいた
  • 年月日: 2016-10-08 – 2016-10-09
  • 招待講演
• [備考] 首都大学東京HP
  • URL: http://www.tmu.ac.jp/stafflist/data/ta/635.html