| 研究課題/領域番号 |
15K04792
|
|---|
| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
|---|
研究代表者 |
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (60306850)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| キーワード | 代数的独立 / 超越数 / 正標数 / Hecke-Mahler級数 |
|---|
| 研究実績の概要 |
複素解析関数で次のような性質をもつものが存在する。異なる代数的数を代入するだけでことごとく代数的独立な超越数を与える関数である。この性質を有する関数を本研究では「完全代数的独立性」を有する関数と呼ぶ。さらに、任意の階数の導関数をすべて含めて、異なる代数的数を代入するだけでことごとく代数的独立な超越数を与える関数も存在する。この性質を有する関数を本研究では「微分完全代数的独立性」を有する関数と呼ぶ。複素整関数であって微分完全代数的独立性をもつものの実例が先行研究で知られていた。これと同等のものを標数p>0の関数体において構成しようとする場合、通常の微分ではp-1階の導関数までしか考えられない。そこで本研究では、通常の微分のかわりにHasse-Teichmueller微分を考えることにより、正標数の関数体上で「微分完全代数的独立性」を有する"整関数"の実例を得た。そのような実例は、冪級数であって指数の数列が線形回帰数列を成している"飛び"のある級数で表されるという点で複素整関数の場合と類似している。この結果は平成29年度に査読付き学術誌に掲載された。
また、複素数体において完全代数的独立性を有する関数の中で、数論の他分野との多くの繋がりをもつHecke-Mahler級数について、非アルキメデス付値体における類似を構成することは本研究の目的達成に重要である。Hecke-Mahler級数とは、実数ωの正整数n倍の整数部分[nω]から成る数列{[nω]}の母関数である。平成29年度の研究においてωがある適切な条件を満たす２次無理数のとき、Hecke-Mahler級数が微分完全代数的独立性を有することを証明した。上記の適切な条件を満たす２次無理数ωとして代数的整数である場合が含まれ、先行研究の主要な部分をすべて含む形で完全代数的独立性から微分完全代数的独立性へと発展させることができた。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の目的は、非アルキメデス付値体において完全代数的独立性および微分完全代数的独立性を有する関数を構成することである。平成29年度までの３年間の研究で、p進数体において完全代数的独立性を有する関数、および正標数の関数体において微分完全代数的独立性を有する関数を構成できた。これらの結果から主要な目的は達成されつつあると言える。さらに、Hecke-Mahler級数が微分完全代数的独立性を有することを証明できたことにより、非アルキメデス付値体における類似を考える基盤が整った。
|
| 今後の研究の推進方策 |
Hecke-Mahler級数の非アルキメデス付値体における類似を考える上で、Hecke-Mahler級数を２変数化したものが満たす関数方程式について深く追求する必要がある。サンテティエンヌ大学教授 F. Pellarin氏との議論を通して、その関数方程式に関する新たな知見が得られたので、それを利用して研究を推進する。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
研究代表者は2018年3月に国際研究集会「Diophantine Analysis and Related Fields 2018」を主催した。海外の研究機関からの招待講演者６名のうち３名は本研究課題の科研費により招聘したもである。この国際研究集会の開催に向けて基金化のメリットを生かし十分な額の助成金が使用できるよう準備を進めてきた。招聘旅費および研究集会の会場使用料に関して不確定要素があったため余裕をもった金額で準備を進めたことにより次年度使用額が生じたものである。
平成30年度は上記の国際研究集会に伴う研究討議で得られた知見を基に研究を進め、研究代表者が海外の研究機関を訪問して共同研究を行う計画である。
|
