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2018 年度 実施状況報告書

クラスター代数と結晶基底の表現論的研究

研究課題

研究課題/領域番号 15K04794
研究機関上智大学

研究代表者

中島 俊樹  上智大学, 理工学部, 教授 (60243193)

研究分担者 中筋 麻貴  上智大学, 理工学部, 准教授 (30609871)
五味 靖  上智大学, 理工学部, 准教授 (50276515)
研究期間 (年度) 2015-04-01 – 2020-03-31
キーワードクラスター代数 / 結晶基底 / 幾何結晶 / 一般小行列式 / Double Bruhat cell / tropicalization
研究実績の概要

クラスター代数は、Fomin とZelevinsky により導入された代数であり、現在広く世界中で活発に研究が進展している。当該研究の主題はこのクラスター代数と結晶基底の関係について単項式表示や多面体表示などを用いて具体的に記述することである。これまで明らかになっているのは2重Bruhat cell G(u,e)上の座標環が持つクラスター代数としての構造のうち初期クラスターとよばれるものについて、Demazure 結晶の単項式表示を用いて具体的に記述したことである。さらに、ポスドクの金久保有輝とともにA型の場合に、Coxeter元からきまる2重Bruhat cell 上のクラスター代数のすべてのクラスター変数を結晶基底の単項式表示を用いて具体的に記述することにも成功した。そこでは、preprojective 代数の加群の圏を用いてのadditive categorification という手法が重要な役割を果たした。また、クラスター多様体と呼ばれる幾何学的対象上に幾何結晶の構造を導入することにも研究の方向を広げている。クラスター多様体にはA多様体とX多様体という対になったものが定義されている。この2つのトロピカル 双対について、その上の座標環とtropicalizeされた多様体によって基底がパラメトライズされるというFock-Goncharov 予想というものが提示されて、幾何結晶のtropicalizationとの関係が期待されている。特に、最近ではpotential またはdecorationとよばれる多様体上の関数が幾何結晶、結晶基底、そしてクラスター代数をつなぐ重要な対象であると認識しその具体的な構成や応用についての研究を開始した。中筋はCasselmann問題を通じて解析数論の立場から研究を遂行している。また、五味は群論、Hecke環の立場から研究を遂行している。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究計画にあるクラスター代数と結晶基底に関連した研究発表を行い、論文の作成を行うなど概ね当初の予定通りの成果が得られている。

今後の研究の推進方策

現在、主に有限型とよばれるリー代数のクラスを扱っているが、さらに広いクラスであるKac-Moody リー代数へ広げることや、結晶基底をDemazure結晶と呼ばれる対象に広げていくことを考えている。

次年度使用額が生じた理由

ほぼ予定通りであったが、次年度予算額がやや不足と認識したため次年度に繰り越した。
国際学会への参加費などに充てる予定である。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2019 2018 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 1件、 査読あり 2件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 3件、 招待講演 3件)

  • [国際共同研究] North Carolina State University(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      North Carolina State University
  • [国際共同研究] MCCME(ロシア連邦)

    • 国名
      ロシア連邦
    • 外国機関名
      MCCME
  • [雑誌論文] Cluster Variables on Double Bruhat Cells G^{u,e} of Classical Groups and Monomial Realizations of Demazure Crystals2018

    • 著者名/発表者名
      Yuki Kanakubo, Toshiki Nakashima
    • 雑誌名

      International Mathematics Research Notices

      巻: 2018 ページ: 3621-3670

    • DOI

      10.1016/j.jalgebra.2018.03.041

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Affine geometric crystal of A^{(1)}_n and limit of Kirillov-Reshetikhin perfect crystals2018

    • 著者名/発表者名
      Kailash C. Misra, Toshiki Nakashima
    • 雑誌名

      Journal of Algebra

      巻: 507 ページ: 249-291

    • DOI

      10.1093/imrn/rnw344

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Half Potential on Geometric Crystals and the Crystal B(∞)2019

    • 著者名/発表者名
      中島俊樹
    • 学会等名
      Workshop on Crystals and Their generalizations, Osaka City University
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Crystal bases and geometric crystals2018

    • 著者名/発表者名
      中島俊樹
    • 学会等名
      Workshop on Crystal bases, Cluster algebras, and Poisson Geometry, Hong Kong University
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Geometric Crystals on Cluster Varieties2018

    • 著者名/発表者名
      中島俊樹
    • 学会等名
      The Joint Meteing of China Mathematics Society-American Mathematics Society, Fudan University, Shanghai
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2019-12-27  

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