| 研究実績の概要 |
１９世紀末にR. Dedekindは、エータ関数と呼ばれる保型形式の変換公式を研究する過程でDedekind和と呼ばれる数論的に重要な有限和を発見し、相互法則を導いた。１９６０年代後半から１９７０年代にかけて、D. ZagierおよびF. Hirzebruchは多様体上の群作用の研究の中で孤立特異点に付随する高次元Dedekind和を発見し、その相互法則を証明した。１９９０年頃からG. Stevens, R. Sczech, D. Solomonは、GL(2,Q)の普遍1-コサイクルの研究を始め、1-コサイクルの構成、部分ゼータ関数の特殊値のコホモロジー的解釈、1-コサイクルのDedekind和による表示を与えた。ここで得られたコサイクルの性質から、Dedekind和の相互法則などの性質が導き出される。１９９０年代後半になると、S.Fukuharaは保型形式、一般Dedekind和、周期多項式の３つの空間の間に同型対応があることを示し、Dedekind和、ApostolのDedekind和とEisenstein級数との関係を明らかにした。さらに、これらの同型対応を利用して、保型形式への応用を与えた。
当該研究では、申請者が導入した標数正のDedekind和と保型形式、L-関数、コホモロジーとの関係を明らかにして、まだ解明されていない基礎的な問題を解決する。さらに、このDedekind和を、他分野の諸問題に応用する。
平成２７年度には、エータ関数の対数の関数体類似を発見して、一次分数変換による変換公式を確立した。平成２８年度には、前年度の結果を拡張するために、一般化Dedekind和を導入した。その結果、Lambert級数の関数体類似を発見して、一次分数変換による変換公式を確立した。また、この級数がHecke作用素の固有関数であることも証明できた。変換公式の応用として、一般化Dedekind和の相互法則を確立することができた。
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