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2018 年度 実施状況報告書

Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底とその組合せ論的実現

研究課題

研究課題/領域番号 15K04803
研究機関筑波大学

研究代表者

佐垣 大輔  筑波大学, 数理物質系, 准教授 (40344866)

研究期間 (年度) 2015-04-01 – 2020-03-31
キーワード量子アフィン代数 / 有限次元既約表現 / 結晶基底 / Kirillov-Reshetikhin 加群 / Lakshmibai-Seshadri パス / Macdonald 多項式
研究実績の概要

平成27~28年度に,レベル・ゼロのエクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群の次数付き指標と,対称/非対称 Macdonald 多項式の特殊化との間の関係を研究した.この研究で中心的な役割を果たしたのが,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルである;半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法にして考えると,量子 Lakshmibai-Seshadri パスになり,それらのなすクリスタルが当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタル(の特別な場合;レベル1の場合)になることが知られている.平成29年度には,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに対する「半無限標準単項式理論」を構築することに成功し,エクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群に対する「半無限標準単項式」を記述した.そして,Demazure 加群の次数付き指標に関する Chvalley 型の公式(優整ウェイトの場合)を導いた.
平成30年度は,上記の半無限標準単項式理論と優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式を応用して,Chvalley 型の公式を反優整ウェイトの場合まで拡張した (arXiv:1808.01468).また,この結果の系として,半無限旗多様体の同変K-理論における,反優整ウェイトの場合の Chevalley 型の公式が得られた.さらに,応用として,minuscule ウェイトに関する Monk 型の公式(minuscule ウェイトと Demazure 加群の最高ウェイトが同じ Weyl chamber に含まれている場合)を証明することができた.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初計画していた内容に関しては大きな進展はなかった.一方,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究はさらに大きく進展した.実際,平成29年度に得られた優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式と,平成30年度に得られた反優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式を組み合わせれば,すべての整ウェイトについての Chevalley 型の公式を計算することが(原理的には)可能になる.したがって,平成30年度の研究業績は大きな意義があるといえるだろう.
上でも述べたとおり,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法にして考えると,当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタル(の特別な場合)になる.したがって,上のような半無限 akshmibai-Seshadri パスに関する研究は,当研究の研究目標にとっても大いに意義があるものと考える.以上を踏まえ,「おおむね順調に進展している」とする.

今後の研究の推進方策

(1) 当初の予定どおり「Kirillov-Reshetikhin クリスタルと同型になると予想されるクリスタル B(r,s) の組み合わせ論的構成」を行う.これに関しては,当初のクリスタルの相似性のみではなく,Travis Scrimshaw 氏らの最新の研究も参考にできると考えている.
(2) Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底の存在については,Scrimshaw氏や直井克之氏の最新の(例外型に関する)結果を参考にして,研究を加速させる.そして,結晶基底の存在が確認された後,(1) のクリスタルを用いて完全性などの性質を探る.
(3) 半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究も引き続き行う.特に,一般の整ウェイトについての Chevalley 型の公式は,上述のとおり,原理的には計算可能であるが,そこからキャンセレーションを取り除き,より明示的に記述することが重要な課題となる.また,Monk 型の公式についても研究を進めたい.

次年度使用額が生じた理由

(理由)筑波大学数学類の運営,特にカリキュラム編成に深くかかわる仕事を担当している.筑波大学では平成31年度より教育カリキュラムが大幅に変更されることになっており,平成30年度はその準備や業務で特に忙しかった.さらに,平成30年度は修士課程の学生5人の修士論文指導にも時間を取られた.以上のことが主な理由で,予定していた海外出張を先送りにした.

(使用計画)平成31年度中に当初予定していた海外出張(ドイツまたはアメリカ)を行い,予算を消化する.

  • 研究成果

    (3件)

すべて 2019 2018

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 2件、 招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Representation-theoretic interpretation of Cherednik-Orr's recursion formula for the specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials at t=\infty2019

    • 著者名/発表者名
      S. Naito, F. Nomoto, and D. Sagaki
    • 雑誌名

      Transformation Groups

      巻: 24 ページ: 155 -- 191

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s00031-017-9467-0

    • 査読あり
  • [学会発表] Chevalley type and Monk type formulas for level-zero Demazure modules2019

    • 著者名/発表者名
      Daisuke Sagaki
    • 学会等名
      Crystals and Their Generalizations
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Combinatorial standard monomial theory for semi-infinite Lakshmibai-Seshadri paths2018

    • 著者名/発表者名
      Daisuke Sagaki
    • 学会等名
      Conference on Algebraic Representation Theory
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2019-12-27  

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