研究課題/領域番号 |
15K04803
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研究機関 | 筑波大学 |
研究代表者 |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (40344866)
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研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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キーワード | 量子アフィン代数 / 有限次元既約表現 / 結晶基底 / Kirillov-Reshetikhin 加群 / Lakshmibai-Seshadri パス / Macdonald 多項式 |
研究実績の概要 |
平成27~28年度に,レベル・ゼロのエクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群の次数付き指標と,対称/非対称 Macdonald 多項式の特殊化との間の関係を研究した.この研究で中心的な役割を果たしたのが,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルである;半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法にして考えると,量子 Lakshmibai-Seshadri パスになり,それらのなすクリスタルが当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタル(の特別な場合;レベル1の場合)になることが知られている.平成29年度には,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに対する「半無限標準単項式理論」を構築することに成功し,エクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群に対する「半無限標準単項式」を記述した.そして,Demazure 加群の次数付き指標に関する Chvalley 型の公式(優整ウェイトの場合)を導いた. 平成30年度は,上記の半無限標準単項式理論と優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式を応用して,Chvalley 型の公式を反優整ウェイトの場合まで拡張した (arXiv:1808.01468).また,この結果の系として,半無限旗多様体の同変K-理論における,反優整ウェイトの場合の Chevalley 型の公式が得られた.さらに,応用として,minuscule ウェイトに関する Monk 型の公式(minuscule ウェイトと Demazure 加群の最高ウェイトが同じ Weyl chamber に含まれている場合)を証明することができた.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初計画していた内容に関しては大きな進展はなかった.一方,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究はさらに大きく進展した.実際,平成29年度に得られた優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式と,平成30年度に得られた反優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式を組み合わせれば,すべての整ウェイトについての Chevalley 型の公式を計算することが(原理的には)可能になる.したがって,平成30年度の研究業績は大きな意義があるといえるだろう. 上でも述べたとおり,半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法にして考えると,当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタル(の特別な場合)になる.したがって,上のような半無限 akshmibai-Seshadri パスに関する研究は,当研究の研究目標にとっても大いに意義があるものと考える.以上を踏まえ,「おおむね順調に進展している」とする.
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今後の研究の推進方策 |
(1) 当初の予定どおり「Kirillov-Reshetikhin クリスタルと同型になると予想されるクリスタル B(r,s) の組み合わせ論的構成」を行う.これに関しては,当初のクリスタルの相似性のみではなく,Travis Scrimshaw 氏らの最新の研究も参考にできると考えている. (2) Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底の存在については,Scrimshaw氏や直井克之氏の最新の(例外型に関する)結果を参考にして,研究を加速させる.そして,結晶基底の存在が確認された後,(1) のクリスタルを用いて完全性などの性質を探る. (3) 半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究も引き続き行う.特に,一般の整ウェイトについての Chevalley 型の公式は,上述のとおり,原理的には計算可能であるが,そこからキャンセレーションを取り除き,より明示的に記述することが重要な課題となる.また,Monk 型の公式についても研究を進めたい.
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次年度使用額が生じた理由 |
(理由)筑波大学数学類の運営,特にカリキュラム編成に深くかかわる仕事を担当している.筑波大学では平成31年度より教育カリキュラムが大幅に変更されることになっており,平成30年度はその準備や業務で特に忙しかった.さらに,平成30年度は修士課程の学生5人の修士論文指導にも時間を取られた.以上のことが主な理由で,予定していた海外出張を先送りにした.
(使用計画)平成31年度中に当初予定していた海外出張(ドイツまたはアメリカ)を行い,予算を消化する.
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