| 研究課題/領域番号 |
15K04808
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
白石 潤一 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (20272536)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | Macdonald多項式 / Askey-Wilson多項式 / Koornwinder多項式 / Lassalleの予想式 / 変形W代数 |
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| 研究実績の概要 |
(1) 星野歩、野海正俊との共同研究によって、Askey-Wilson多項式の明示的表示式を与えるある四重級数を導出した。この結果は、非常によく知られているAskey-Wilson多項式の超幾何級数表示を出発点として、ある一連の変換及び和公式を適用して構成された。実は、このような四重級数表示を発見するための手がかりとなったのは、Lassalleによる一行型の分割を持つBn, Cn, Dn型Macdonald多項式の明示的公式の予想式と、Koornwinder多項式に付随する核関数関係式であった。このAskey-Wilson多項式(BC1型)の四重級数表示に対して、核関数関係式によって構成されるBCn型の多項式へのintertwinerを作用させることで、一行型の分割を持つKoornwinder多項式の明示的公式が構成された。Lassalleの予想はこのように得られたKoornwinder多項式の明示的公式の適当な退化によって得られることが確認され、従ってLassalleの予想に対する証明が与えられた。
(2) Boris Feigin、星野歩、野海正俊、柴原淳との共同研究によって、一行型の分割を持つCn型及びDn型のMacdonald多項式の明示的公式であって、その組合わせ的構造が柏原・中島の結晶基底のタブロー規則に従うようなもの(タブロー表示)を構成した。このタブロー表示は、Cn型及びDn型の変形W代数の相関関数の、座標変数に関する主特殊化によって得られる式である。変形W代数の相関関数の主特殊化がMacdonald多項式を与えるという現象は、An型の場合にはその理由が比較的良く理解されているが、Cn型やDn型の場合等においても同様の現象がおこるということを示したこととなる。その、証明はLassalleの公式からタブロー表示への変換公式を与えることで為された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
(1) 研究実績で述べた研究の過程で、Cn型及びDn型の変形W代数の相関関数は、自然に、しかし全く非自明な理由によって、Cn型及びDn型の対称多項式の母関数ないし再生核を与える、という予想が得られた。さらに、その相関関数の構造は座標変数に関してCn型及びDn型の対称性を持つFeigin-Odesskii代数の自然な定義を導く。言い換えれば、これまで手つかずの状態であったCn型及びDn型のFeigin-Odesskii代数の研究の糸口が得られたことになる。
(2) 本研究課題のテーマであるMacdonald多項式の分岐規則の記述のためには、Feigin-Odesskii代数の構造を用いなければならないことは、これまでに私が蓄積した実験的な計算結果が暗示している。ただし、残念ながら現在の所、上述の変形W代数から来るFeigin-Odesskii代数と、分岐係数に現れる有理式との関係はまだ明らかにされてはいない。このように状況はいまだに困難なものではあるが、本研究課題の遂行のための土台となる、組合わせ的計算規則の規則を与える代数的構造の解析に関しては、研究計画初年度において上手く開始できたものと考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究初年度には、(1) Askey-Wilson多項式の明示的公式を４重級数の形に書くことができること、(2) Koornwinder多項式の核関数関係式とintertwinerの構成法、(3) Koornwinder多項式の明示的公式(タブロー和表示等の公式)の研究に付随して、超幾何級数に関するある一連の変換公式を見いだすこと、の３点を多角的に分析・総合して研究を進めてきた。その３点は、どれもがかなり複雑(つまり未成熟)なものである。また、それぞれがMacdonald多項式の分岐規則の記述においてどのような役割を担っているのか、まだ本当の理解には到達していないものとも思われる。今後の研究指針を確立するため、重要な例であるBn, Cn, Dn型Macdonald多項式のタブロー和表示の研究を推進し、さらにBCn型の一般のKoornwinder多項式の明示的公式についてのより深い理解を目指す。また、それをささえるであろう変形W代数に付随するFeigin-Odesskii代数についての基礎的な理論も確立せねばならない。そのような具体的表示式の組合わせ的構造を手許において、量子コホモロジー理論的なアプローチ、ないし、偏屈層の代数幾何学を用いるMacdonald多項式の記述に対する証明について考察していく。
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