| 研究課題/領域番号 |
15K04818
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| 研究機関 | 京都教育大学 |
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研究代表者 |
宮崎 充弘 京都教育大学, 教育学部, 准教授 (90219767)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 高次元配列 / テンソル / 不変式 / 群作用 / サグビー基底 / グレブナー基底 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の研究課題にある高次元配列とは、３次元以上の直方体状に「もの」を並べたものを意味する。ここでいう「もの」とは、その研究の対象とする分野により、あるいは扱いにより様々だが、本研究においては、対象とする可換環の元を意味する。
２次元の配列、とくに、環の元を成分とする２次元配列は行列と呼ばれ、古くから多くの研究者により、たくさんの研究成果が積み上げられている。本研究の対象とする群作用と不変式環に関する研究についても、行列に対する群作用に関しては、多くの研究成果が積み上げられている。
本研究は、それら様々な研究成果の高次元版を調べることを目的として開始された。その結果、初年度の研究においては、高次元配列データの研究にはたす、行列式イデアルの重要性が再認識された。行列式は正方行列に対して定義され、行列式イデアルは、セグレ多様体の高次元セカント多様体の定義イデアルである。このことから、行列式イデアルの高次元版といえる、３個以上の射影空間のセグレ埋め込みの高次元セカント多様体の定義イデアルも高次元配列の研究に重要な役割をはたすと考えられるが、３個以上の射影空間のセグレ埋め込みの高次元セカント多様体の定義イデアルの研究は、まだあまり多くの研究成果の蓄積がない。
一方で、高次元配列に対する群作用も、高次元配列をしかるべき方法で２次元に並べなおすことにより、行列に対するある種の群作用になることがわかる。この場合、高次元配列に由来する事柄は、作用する群の特殊性に現れることになる。そのため、本研究においても、行列、行列式、そして行列に対する群作用がきわめて重要な役割をはたすことが、改めてわかった。
そこで本年度の本研究においては、引き続き高次元配列の群作用について調べ、いくつかの成果を得るとともに、本研究の発想の原点である、行列に関する群作用とその不変式についても改めて研究し、いくつかの成果を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
高次元配列データに関する群作用と、その不変式環について研究した結果、不変式環について、いくつかの研究成果がえられた。また、本研究の発想の原点であり、本研究との関連の強さが、研究を行っていく中で、改めて認識された、行列に対する群作用についても、いくつかの研究成果が得られた。
このため、本研究は、おおむね順調に進展しているといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成２８年度の研究の結果、重要性が再認識されるにいたった、行列に関する群作用と、その不変式環について、高次元配列を行列の形に並べなおしたときの、対応する群とその群作用に注目して、さらに詳しく調べる。
とくに、高次元配列を行列の形に並べなおすことによって、作用する群の形に制限が加わるが、その制限が異なる並べなおしによってどう変わるか、また、その制限をゆるめたときや、強めたときの不変式環の変化、さらには、配列されている成分が、環論的、あるいは、代数幾何学的な、なんらかの条件をみたす場合に、その条件と整合的な群作用の可能性や、整合的な群作用が可能である場合の不変式環などについて調べていく。
その際、作用を受ける環を、しかるべく多項式環に埋め込んだ場合、問題とする群作用に関する不変式環のイニシャル部分環、サグビー基底にとくに注目し、不変式環のイニシャル部分環の構造や、その組み合わせ的特徴、凸体の理論との関係についても調べる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究で得られた成果のうち、重要な論文をオープンアクセスにしようと考え、その費用を本研究費から充当させていただこうと考えた。その手続きが年度をまたいでしまったので、形の上では、次年度使用が発生した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
現在手続き中である。
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