| 研究課題/領域番号 |
15K04834
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
井ノ口 順一 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40309886)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | ループ群 / 非コンパクト対称空間 / 調和写像 / 水平的曲面 / テータ関数 / グラスマン幾何 / 磁場曲線 / 接触構造 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の主要研究対象のひとつである「調和写像の構成と曲面論への応用」について以下の成果を得た。
1)3次元反de Sitter時空の極大曲面に対するルー・ヴィルムス型定理を確立した。2) 本研究の主要研究対象である「リーマン面で定義され双曲平面に値をもつ調和写像」はある正規性の条件下ではsinh-Gordon方程式に書き換えられる。この方程式の類似としてTzitzeica方程式とよばれる2次元戸田方程式の一種が知られている。Tzitzeica方程式は５次元球面内の水平的極小曲面の構造方程式と等価である。この類似性に着目し、５次元球面内の水平的極小曲面のリーマン・テータ函数を用いた記述を宇田川誠一氏、谷口哲也氏との共同研究で与えた(論文[2]として発表)。
3) 前年度の継続課題としてAI型、AII型、BDI型、DIII型、CI型、CII型、EII型、EIII型、EIV型、G型のコンパクト・リーマン対称空間の重調和等質超曲面を笹原徹氏との共同研究で分類した（論文投稿中）。
4)内藤博夫との共同研究により３次元非ユニモデュラー・リー群内の曲面に対する軌道型グラスマン幾何の分類を行った。曲面の軌道型グラスマン幾何はミルナー不変量とよばれる不変量の値により３種類に大別されることが解明された。いくつかの特徴的な場合については軌道型曲面の具体的な記述を与えることにも成功した。（論文を準備中）。5)前年度の継続課題としてM.I.Munteanu氏との共同研究でリーマン多様体の単位球面束の標準的接触構造に関する磁場曲線の微分方程式を導出した。2次元球面の場合に磁場軌道を具体的に記述することに成功した。この成果はKlingenbergと佐々木重夫により得られていた2次元球面の単位球面束の測地線(1次元調和写像)の分類の一般化である。また磁場ベクトル場の例を構成した(論文[5]として発表)
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
28年度は27年度に引き続き「リーマン面で定義され双曲平面に値をもつ調和写像のループ群論による構成」による３次元双曲空間内のガウス曲率一定曲面の構成法に向けて基礎理論の確立を目指して継続研究を行った。28年度の目標に掲げた完備性の判定について、リーマン面論を用いた手法がほぼ確立できているため順調に研究が進展していると判断できる。もうひとつの目標であったまた3次元反de Sitter時空の極大曲面に対する「ルー・ヴィルムス型定理」も確立することができた。この確立により双曲空間のガウス曲率一定曲面における研究成果を「極大曲面の構成法」における研究指針として利用可能となった。極大曲面の研究も順調に進展していると判断できる。これら二つの主要研究対象の研究過程で他の幾何学的問題への応用が発見された。具体的には単位球面束における磁場曲線、リーマン多様体の磁場ベクトル場、3次元非ユニモデュラー・リー群内の曲面の軌道型グラスマン幾何、リーマン対称空間内の重調和等質超曲面などの関連研究における成果が得られた。また調和写像（および測地線・磁場曲線）の研究手法の新たな応用（平面曲線の意匠設計）も発見できたため、本研究の有用性（utility）の高さも確認できた。
以上のことから総合的に「おおむね順調」と評価できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
１）27年度の成果である「ルー・ヴィルムス型定理」および28年度の成果である「完備性の判定法」を基軸として3次元双曲空間内のガウス曲率Kが一定で-1<K<0をみたす曲面の直接的な（双曲幾何で閉じた形式の）ループ群論的構成法の確立に向けて研究を継続して行う。29年度は改めて既知の例に立ち返ることから研究を開始する計画である。目標としている「ループ群論的構成法の確立」の精度を高めるために既知の例をループ群の観点から詳細に精査する。その精査をもとに完備性の判定法や曲面の対称性などを読み取ることを目的とする。
２）ハイゼンベルグ群の極小曲面、反de Sitter時空の極大曲面に対しても同様の研究方針で「既知の例の精査」を主目標とする。これまで反de Sitter時空の極大曲面については「ルー・ヴィルムス型定理」が確立されていなかったが28年度に確立できたため、数理物理学（素粒子論）で発見されている例の精査が可能になった。これを主要な観点として今後の研究を継続する。
３）２７年度、２８年度に得た成果の証明方法・証明の過程で得た研究成果を、種々の観点から検討し、他の幾何学的問題への応用を考察する。また３次元等質リーマン多様体および一般次元のリー群内の曲線・曲面についても２７年度・２８年度の成果をもとに調和写像の観点から検討する。
研究の進展・競合する海外の研究者の研究成果発表・研究動向に応じて、研究順序などの適時修正を行う。
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