| 研究課題/領域番号 |
15K04839
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
長谷川 和志 金沢大学, 学校教育系, 教授 (50349825)
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| 研究分担者 |
守屋 克洋 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50322011)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 四元数多様体 / 包含的曲面 / ツイスターリフト |
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| 研究実績の概要 |
まず、四元数多様体内の包含的（inclusive）曲面に対して，そのツイスターリフトの基本的な性質を調べた。これは、これまでの研究過程において得られていた、複素ベクトル束の接続の分解と曲率等の幾何学量との関係式をさらに精査することで得られた。特に，この包含的曲面については、外の四元数多様体の四元数接続によらない幾何学量を見つけた。なお、これは、外の空間が実4次元の四元数射影空間の場合には、共形幾何におけるウィルモア汎関数に一致するものである。実4次元多様体においては、四元数構造が向き付けられた多様体の共形構造に一致することを鑑みれば、この不変量はウィルモア汎関数の四元数的対応物の一つとしては妥当なものであると思われる。具体的な方法としては、当初の計画通り、ツイスターリフトの微分写像の(1,0)、(0,1)の各成分に分解すること等で得られた。一方で、ここでは、四元数構造にのみに依存する幾何学量に着目するため、リーマン計量の存在は仮定しない。このため、曲面の共形不変量を論じる際の手法は使えないが、複素ベクトル束上で議論することで、より一般的な視点から研究することができ、新たな知見も得られた。
また、研究分担者の守屋との共同研究では、ツイスターリフトの理論と四元数正則幾何の理論との関係を、スピン構造を考えることで明示的に得た。これらは、個別に論じられてきたと思われる両者を明確に結びつけるものであり、今後の研究においても重要な示唆を与えることと思われる。また、この結果として、曲面から4次元ユークリッド空間へのはめ込みについて、その微分写像について四元数構造を介した分解がえられ、その幾何学的な応用も得られた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
包含的曲面について四元数多様体の四元数接続によらない量を見つけることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
当面は、本年度に得られた不変量と位相的な幾何学量との関連を明らかにすることを目標にする。また、引き続き、研究分担者と連携研究者との意見交換・議論を行っていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定していた、ノートＰＣ等の購入は大学からの基盤研究経費を用いたため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究分担者および連携研究者と打ち合わせや、研究会への参加及び発表を積極的に行うことに使用する予定である。
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