| 研究課題/領域番号 |
15K04844
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
太田 慎一 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00372558)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | フィンスラー幾何 / 等周不等式 / 最適輸送理論 / 熱流 |
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| 研究実績の概要 |
今年度はフィンスラー多様体上の等周不等式を2つの異なる方法で研究し，それぞれ論文にまとめた．まず始めに，局所化と呼ばれる方法を研究し，一般的な状況で弱いLevy-Gromov型等周不等式を得た．局所化とはある空間上の不等式をその空間の殆ど全てを覆う測地線上の不等式に帰着する方法で，凸幾何や関数不等式の文脈でユークリッド空間において研究されてきた．1次元空間の不等式は高次元空間の不等式よりはるかに解析しやすいため，強力な手法である．Klartag (2014) は局所化を重みつきリーマン多様体に拡張し，Levy-Gromov型等周不等式の（幾何学的測度論に依らない）画期的な別証明を与えた．ここで測地線族の構成は最適輸送理論を参考にしている．その後，Cavalletti-Mondino (2015) は局所化を更に曲率次元条件を満たす測度距離空間に拡張し，Levy-Gromov型等周不等式や種々の関数不等式をその枠組で示した．これは特に距離が対称なフィンスラー多様体を含む．
代表者は，Cavalletti-Mondinoの技法を基に，局所化を距離が対称でないフィンスラー多様体に一般化した．この場合，測地線を逆向きに辿った曲線が測地線とは限らないという非対称な状況特有の現象により，導かれる等周不等式は対称な場合より弱いものになる．
次に，非対称な場合でも最良の評価を与えうる方法として，BakryらによるΓ解析のフィンスラー多様体への本格的な導入を連携研究者の桑田氏と連携して試みた．既にSturmとの以前の研究で鍵となるBochner不等式を得ており，それを用いて特殊なパラメータについてのLevy-Gromov型不等式（Bakry-Ledoux等周不等式と呼ばれる）を導いた．この不等式は距離の対称性に関わらず同じ形になり，上述の局所化による不等式を改良する最良の不等式が得られた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
フィンスラー多様体の等周不等式の研究は当初から本研究課題の中心の1つと考えていた．局所化を用いた方法では，測地線族の構成が問題なくできたため，距離が非対称な状況でも最良の評価が得られると期待していたが，最後の段階で非対称性が本質的に評価を悪くすることがわかった．これは局所化の限界を明らかにする新しい知見であり，興味深い観察であると受け止めている．また，局所化による方法では「負次元」の重みつきリッチ曲率も許容するなど極めて一般的な状況を扱っており，Γ解析による方法が適用される場合を除けばここで得られた評価が現時点で最良のものである．
Γ解析による等周不等式の研究では，当初は等周不等式のみを目的として研究を進めていたが，これまでのSturmとの共著論文などに含まれているΓ解析についての事柄をまとめる必要性を感じ，途中からそのように方針を転換した．結果として，Γ解析を行うための道具立てを整備して使い勝手の良いものにすることができ，今後の発展に資するものになったと考えている．従来のΓ解析は線形な作用素についての理論であり，非線形作用素であるフィンスラー多様体のラプラシアンへの一般化は全く自明ではない．この研究での非線形作用素の扱いは，解析的な観点からも意味があるものと思われる．
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| 今後の研究の推進方策 |
局所化とΓ解析は等周不等式以外にも様々な応用がある．局所化では距離が非対称な状況で最良の評価を与えるのは難しいことがわかったため，まずはΓ解析（Bochner不等式と熱流の解析）に基づいてフィンスラー多様体上の関数不等式の研究を進める．これについては引き続き連携研究者の桑田氏と連携をとって進める．その際，最良の評価を与えるとともに，その最良値を達成する空間の性質の研究や分類（いわゆる剛性問題）も重要な問題として取り組む．フィンスラー多様体での剛性問題はリーマン多様体より複雑であるが（例えば定曲率空間は一意ではない），何らかの性質は導けるものと考えている．
この他に，これまでも取り組んできたフィンスラー多様体上の凸関数の勾配流の研究も進めていきたい．この研究については，2016年1月にハンガリーに帰国した研究協力者のPalfia氏【現在ハンガリー科学アカデミー研究員】と連携する．
一方，局所化の肝である測地線族への分解は曲率に関わらず一般的に構成できるため，重みつきリッチ曲率の下限以外の曲率条件への適用も可能である．このような研究はまだ行われておらず野心的な課題ではあるが，アダマール多様体やAlexandrov空間などで局所化の応用が見つかれば大変面白い．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2015年度は海外で良い研究集会が少なく，国内の研究集会にしか参加しなかったため旅費の使用が予定より少なかった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
2016年度は既に複数の海外の研究集会への参加が決まっており，その旅費に使用する．また国際研究集会の開催にオーガナイザーの1人として関わっており，その参加者の招聘にも使用する．
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| 備考 |
これまでに発表した論文や投稿中の論文のリストとPDFファイル，簡単な履歴などが置いてある．
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