| 研究課題/領域番号 |
15K04845
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
Rossman W.F 神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485)
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| 研究分担者 |
直川 耕祐 神戸大学, 理学研究科, 特別研究員(PD) (60740826) [辞退]
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (70451432)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 離散的微分幾何学 / 離散曲面 / 半離散曲面 / 離散曲線 / 特異点 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は滑らかな曲面における深い数学的理論及びその豊かな構造を、コンピュータグラフィックスや建築において応用が期待される離散化及び半離散化された曲面に拡張することであった。具体的に、以下の目標であった：
a）可積分系、平坦接続理論、保存量等の概念を用いた、オメガ曲面対する新たな（半）離散化の方法の研究 b）可積分系とメビウス幾何学及びリー球面幾何学 のアプローチを用いたい離散、半離散曲面及びその変換理論の研究 c） 滑らかな曲面、離散曲面、半離散曲面の性質（例えば曲率・接球面族の自由度・座標の構造など）の解析及びその性質について共通点及び相違点の研究 d）離散曲面、半離散曲面に現れる特異点の定式化と曲率などの性質の導入及び解析
a）～d）について、
１）オメガ曲面の特別なクラスである滑らかなメビウス幾何内の双等温曲面及び変換理論の研究を行った。 ２） ローレンツ軽量を持つ空間系内の平均曲率一定曲面のanalytic extensionの性質を調べて、特にド・ジッター空間内の平均曲率一定曲面を調べた。 ３）離散オメガ曲面の理論を新たに構成し、任意の3次元空間型内の離散線形ワインガルテン曲面がこの特別な例となることを示した。 ４）Weierstrass型表現公式を持つ特別なクラスの曲面を離散化して、その離散的な曲面の性質と変換理論と特異点を調べた。さらに、Weierstrass型表現公式を持つ半離散曲面に現れる特異点の解析を行った。 ５）離散的なオメガ曲面の変換理論を拡張し、より一般的のDarboux変換を発見した。 ６）半離散双等温曲面が「滑らかな曲線のDarboux変換」で構造できることを示した。 ７）離散的なchannel曲面を定義して、その曲面の性質を調べた。 ８）離散極小曲面が対称性を持つための条件を発見し、新たな離散極小曲面の具体例を構成した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
今までに以下の結果が得られた：
１）オメガ曲面の特別なクラスである滑らかなメビウス幾何内の双等温曲面及び変換理論の研究を行った。（F. Burstall氏、U. Hertrich-Jeromin氏、S. Santos氏との共同研究） ２） ローレンツ軽量を持つ空間系内の平均曲率一定曲面のanalytic extensionの性質を調べて、特にド・ジッター空間内の平均曲率一定曲面を調べた。 （藤森祥一氏、川上裕氏、國分雅敏氏、梅原雅顕氏、山田光太郎氏との共同研究） ３）離散オメガ曲面の理論を新たに構成し、任意の3次元空間型内の離散線形ワインガルテン曲面がこの特別な例となることを示した。（F. Burstall氏、U. Hertrich-Jeromin氏との共同研究） ４）Weierstrass型表現公式を持つ特別なクラスの曲面を離散化して、その離散的な曲面の性質と変換理論と特異点を調べた。さらに、Weierstrass型表現公式を持つ半離散曲面に現れる特異点の解析を行った。（安本真士氏との共同研究） ５）離散的なオメガ曲面の変換理論を拡張し、より一般的のDarboux変換を発見した。（F. Burstall氏、J. Cho氏、U. Hertrich-Jeromin氏、M. Pember氏との共同研究） ６）半離散双等温曲面が「滑らかな曲線のDarboux変換」で構造できることを示した。（F. Burstall氏、U. Hertrich-Jeromin氏、C. Mueller氏との共同研究） ７）離散的なchannel曲面を定義して、その曲面の性質を調べた。（G. Szewieczek氏、U. Hertrich-Jeromin氏との共同研究） ８）離散極小曲面が対称性を持つための条件を発見し、新たな離散極小曲面の具体例を構成した。（S.-D. Yang氏、J. Cho氏との共同研究）
以上のことから、当初の計画以上に進展しているといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
これからの課題は以下である：
１）離散的な曲面に現れる特異点の判別 （カスプ辺、ツバメの尾、折り目特異点、円錐的特異点など）（赤嶺新太郎氏、J. Cho氏、安本真士氏との共同研究）
２）p-正則関数の離散かとそれに対応する時間的極小曲面の研究（赤嶺新太郎氏、J. Cho氏、安本真士氏、S.D. Yang氏との共同研究）
３）極小曲面上のヤコビ作用素の固有値の研究と特別な音響学的性質を持つ具体的なモデルの製造への応用（A. Paganini氏、M. Miro氏、D. Polly氏、F. Rist氏との共同研究）
４）ド・ジッター空間内の平均曲率１曲面の滑らかな拡張における結果を用いてド・ジッター空間内のカテノイドのもっと深い性質の解析（藤森祥一氏、川上裕氏、國分雅敏氏、梅原雅顕氏、山田光太郎氏、S.-D. Yang氏との共同研究）
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの影響で予定していた外国と国内旅費が使えなくなった。次年度の旅費に変えて利用する予定です。
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