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2015 年度 実施状況報告書

偏極代数多様体に対する小林・ヒッチン対応のケーラー・リッチ流の観点からの研究

研究課題

研究課題/領域番号 15K04848
研究機関佐賀大学

研究代表者

中川 泰宏  佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90250662)

研究期間 (年度) 2015-04-01 – 2020-03-31
キーワードEinstein・Kaehler 計量 / 幾何学的不変式論 / 安定性 / Kaehler・Ricci ソリトン
研究実績の概要

これまでの研究に引き続き,偏極代数多様体の幾何学的不変式論の意味における安定性と定スカラー曲率 Kaehler 計量の存在とが同値になるという予想,いわゆる「偏極代数多様体に対する小林・Hitchin 対応」を中心に研究した.
特に本年度は,Einstein・Kaehler Fano 多様体を底空間とするいくつかの複素直線束達の直和のコンパクト化として得られるトーリック束である種の条件を満たす空間の上で Einstein・Kaehler 計量の存在問題を考察した.まず,仮定された条件のもとで,反標準類を実現する Kaehler 形式を具体的に構成することにより,考えているトーリック束が Fano 多様体となる事を示すことに成功した.さらに,考えているトーリック束の上に Einstein・Kaehler 計量が存在のための必要十分条件を提唱することができた.また,典型的な例として底空間がいくつかの複素射影空間の直積である場合を考察し,この条件が実際に必要十分条件となっていることを確認することができた.
実は考えているトーリック束には常にファイバー方向の正則ベクトル場を用いた Kaehler・Ricci ソリトンが存在し,そのファイバー方向の正則ベクトル場として 0 が取れる(この時,Kaehler・Ricci ソリトンは Einstein・Kaehler 計量となる)ための条件が提唱した条件になっているのではないかと予想しているが,この予想に関しては今後の課題である.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

Einstein・Kaehler Fano 多様体を底空間とするトーリック束である種の条件を満たす空間の上で Einstein・Kaehler 計量の存在問題を考察した.まず,仮定された条件のもとで,考えているトーリック束は Fano 多様体となる事を示すことに成功した.さらに,考えているトーリック束の上に Einstein・Kaehler 計量が存在のための必要十分条件を提唱することができ,典型的な例として底空間がいくつかの複素射影空間の直積である場合を考察し,この条件が実際に必要十分条件となっていることを確認することができた.

今後の研究の推進方策

まずは今年度の研究で考察したいくつかの射影空間の直積を底空間としたトーリック束に無条件にファイバー方向の正則ベクトル場を用いた Kaehler・Ricci ソリトンが存在することを示し,その正則ベクトル場として 0 が取れるための条件が提唱した条件となることを示したい.さらには,この問題をより一般の場合にも解決することを目指したい.これは,Wang・Zhu によるトーリック Fano 多様体上の Kaehler・Ricci ソリトンの存在定理の一般化(相対化)となる.
さらに Kaehler・Ricci 流観点からの Fano 多様体の場合の小林・Hitchin 対応の解決を目指したい.Donaldson や Uhlenbeck・Yau による「正則ベクトル束に対する小林・Hitchin 対応」の熱流を用いた解決や,Cao による Ricci 曲率が不またはゼロの時の Einstein・Kaehler 計量の存在問題の Kaehler・Ricci 流を用いた解決などからも,この観点での大きな進展が得られることは十分期待できる.

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額は 3820 円と小額なので,次年度の研究計画に支障を来さないと判断した.

次年度使用額の使用計画

本研究で考察する種々の問題はどれも多分野,特に代数幾何学・複素微分幾何学および解析学(特に偏微分方程式)にまたがっており,多様な情報を収集する必要がある.そのために,幾何学関係・代数学関係および解析学関係の書籍を必要とする.また,これらの研究テーマはここ数年で急速に発展してきている.そこで,最新の研究結果を収集するために,国内外の研究集会に参加する必要がある.よって,2016 年度は,物品費:203,820 円,旅費:500,000 円,人件費・謝金:100,000 円の使用を予定している.

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2016 2015

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件、 オープンアクセス 1件、 謝辞記載あり 1件) 学会発表 (3件) (うち招待講演 3件)

  • [雑誌論文] On the examples of Nill and Paffenholz2015

    • 著者名/発表者名
      Yasuhiro Nakagawa
    • 雑誌名

      International Journal of Mathematics

      巻: 26 ページ: 673 687

    • DOI

      10.1142/S0129167X15400078

    • 査読あり / オープンアクセス / 謝辞記載あり
  • [学会発表] ある種のトーリック束の上の Einstein・Kaehler 計量の存在問題について2016

    • 著者名/発表者名
      中川 泰宏
    • 学会等名
      2016 名城幾何学研究集会「幾何構造の深化」
    • 発表場所
      名城大学理工学部
    • 年月日
      2016-03-01 – 2016-03-03
    • 招待講演
  • [学会発表] ある種のトーリック束の上の Einstein-Kaehler 計量について2016

    • 著者名/発表者名
      中川 泰宏
    • 学会等名
      淡路島幾何学研究集会 2016
    • 発表場所
      淡路島国民宿舎 慶野松原荘
    • 年月日
      2016-01-22 – 2016-01-24
    • 招待講演
  • [学会発表] 非対称 Einstein・Kaehler トーリック Fano 多様体について2015

    • 著者名/発表者名
      中川 泰宏
    • 学会等名
      RIMS 研究集会「幾何学・組合せ論に現れる環と代数構造」
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所
    • 年月日
      2015-06-09 – 2015-06-12
    • 招待講演

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公開日: 2017-01-06  

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