| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
進捗状況はおおむね順調であるが、まだ考察が散発的で全体としてはまとまっておらず、論文もしくは何らかの原稿にまとめる段階には達していない。現在までの主な進捗内容は以下の通りである。まずBourgeoisらによる接触多様体のシンプレクティック化における安定曲線の定義ではリーマン面は連結である必要はなかったが、これは次に述べる理由から何らかの修正を施すのが適当だと思われる。問題点を明らかにするために次のような簡単な状況を考える。Vを接触多様体、R×Vをそのシンプレクティック化、a，bを複素平面Σの異なる2点とし、u_i,j：Σ→R×Vをエネルギーが有限でproperな擬正則曲線の族Mで、Mの仮想次元を2とする。さらにi→∞のときu_i,j(a)のR成分は－∞に発散し、j→∞のときu_i,j(b)のR成分は－∞に発散するとする。するとこのときi→∞かつjが有界の極限では2階建てのholomorphic buildingが現れ、これはMの境界の点を表す。そしてこの2階成分のj→∞の極限を考えると新たな2階建てのholomorphic buildingが現れ、最終的に先の1階成分のu_aと後の2階成分のuと1階成分のu_bの合計3つの擬正則曲線の組(u, u_a, u_b)がMの角の点を表す。またこの(u, u_a, u_b)の仮想次元は0となる。同様に、先にiが有界かつj→∞の極限をとるとMの境界の点が現れ、続いてi→∞の極限をとると先と同じ3つの擬正則曲線の組(u, u_a, u_b)が現れる。一方、iとjを同時に∞に飛ばすと、その極限に2階建てのholomorphic buildingが現れ、その2階成分はuで1階成分はu_aとu_bのR成分を適当にずらして合わせた連結成分が2の擬正則曲線u_a∪u_bが現れる。この組(u, u_a∪u_b)は(u, u_a, u_b)と同じMの角の点を表すべきであるが、その仮想次元は各連結成分ごとのR成分のずらしがあるため1である。このようにモジュライ空間の角の構造を考慮すると、Bourgeoisらによる安定写像の定義は何らかの修正が求められることがわかる。
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