非コンパクトなシンプレクティック多様体における安定曲線モジュライの倉西構造の構成

2016 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04850
• 研究機関: 首都大学東京
• 研究代表者: 赤穂 まなぶ 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (30332935)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: シンプレクティック多様体 / 擬正則曲線 / Gromov収束

研究実績の概要

本年度は主に凹型のエンドを持つ非コンパクトなシンプレクティック多様体における擬正則曲線モジュライのコンパクト化について、閉シンプレクティック多様体の場合との比較を行いながら、そのバブルの起こるメカニズムを詳しく解析した。一般にモジュライ空間を調べる上でまずはじめに行うことはそのコンパクト化を詳しく調べることである。ここでは擬正則曲線モジュライの安定写像コンパクト化を考える。閉シンプレクティック多様体の場合には深谷--小野により擬正則曲線モジュライの安定写像コンパクト化の様子が詳しく調べられている：深谷--小野はまず定義域の点付きリーマン面に余分な点を付け加えて安定写像として収束させ、次に付け加えた点を取り除き、そこで出現した不安定な既約成分を潰して最初の擬正則曲線の安定写像としての極限を構成するというトリックを用いた。このトリックはBourgeois et al.により凹型のエンドをもつ非コンパクトなシンプレクティック多様体における擬正則写像モジュライのコンパクト化に用いられている。一方、閉シンプレクティック多様体についてMcDuff--Salamonは著書"J-holomorphic Curves and Symplectic Topology"においてバブルの解析をより詳しく行うことにより定値写像に収束する既約成分上には結節点が3個以上現れることを示している（命題4.7.1(iv)）。したがってこれを用いれば深谷--小野が行った余分な点を付け加えて安定写像として収束させてから加えた点を取り除いて現れる不安定な既約成分を潰すというトリックが不要になる。本年度は凹型のエンドを持つ非コンパクトなシンプレクティック多様体の状況においてこのMcDuff--Salamonの手法を用いて擬正則曲線モジュライの安定写像コンパクト化を詳しく解析した。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

昨年度の状況では接触多様体のシンプレクティック化への安定写像について、モジュライの角の次元の考察からBourgeois et. alによる安定写像の定義に何らかの修正が必要だとの認識に至ったが、本年度はその修正を行い、安定写像モジュライの適切なラベル付けを考察した。Bourgeois et. alらのシンプレクティック化への安定写像の定義では定義域の特異リーマン面は連結とは限らなかったが、本研究ではまず安定写像の定義域は連結な特異リーマン面とした。R×Vを接触多様体Vのシンプレクティック化とする。u_1,…, u_iを連結な特異リーマン面からR×Vへの安定写像もしくはR×S^1からの自明な擬正則シリンダーとする。このとき、その様な安定写像の組U=(u_1,…, u_i)とV=(v_1,…, v_j)の間の同値関係を次で定義する。U, VにR×S^1からの自明な擬正則シリンダーを補充してU=(u_1,…, u_k), V=(v_1,…, v_k)とし、各u_1,…, u_kおよびv_1,…, v_kの順番を適当に入れ替えてu_1=v_1,…, u_k=v_kとなるときUとVは同値であると定義する。そしてこの同値類をラベルとして安定写像のモジュライを構成した。このラベル付けの正当性は２点：一つはモジュライの角の正しい次元が得られる点と、もう一つはシンプレクティック化における擬正則写像のHofer--Gromovコンパクト性に現れるlevel構造と（不要な）R×S^1からの自明な擬正則シリンダーの適切な処理が出来る点である。このモジュライはBourgeois et. alとは組み合わせ的に異なり、Floer理論における代数構造と両立する正しい安定写像のモジュライが得られるものと思われる。

今後の研究の推進方策

今後も引き続き凹型のエンドを持つ非コンパクトなシンプレクティック多様体における安定写像モジュライの倉西構造についての研究を行う。これまでに得られた結果はBourgeois et. alによる安定写像の定義の修正とそこから得られるモジュライのラベル付けである。次はそれらをもとに実際に安定写像モジュライの構成に入る。そのためにまずは接触多様体のシンプレクティック化における擬正則曲線のGromov収束に関する考察が必要であるが、それは既にBourgeois et. al、Abbas、Wendlらによる先行研究があり基本的な部分は完成している。ただし彼らの研究ではバブルtreeの詳しい記述がなされているとは言いがたく、本研究では種数が0の安定写像の場合にMcDuff--Salamonの著書にしたがってメビウス変換を用いたtreeグラフによるバブルtreeの記述を試みる。そしてこのモジュライのコンパクト化の作業が終了した後は倉西構造の構成にはいる。これはモジュライの次元の低いstrataから順に倉西近傍を構成するのであるが、そこでtreeグラフによるラベル付けが有効に活用されるものと期待する。これが終われば凹型のエンドを持つ非コンパクトなシンプレクティック多様体における種数0の安定写像モジュライの倉西構造の構成はほぼ完成したと言える。次はラグランジュ境界条件の下での種数0の境界付き安定写像モジュライの倉西構造の構成であるが、これはFukaya et. alやFrauenfelderらによる擬正則円盤のモジュライの構成をもとに閉リーマン面のときの議論と平行して行うことができると期待される。ただしFloer理論における代数構造と両立するようにモジュライのラベル付けを行う必要があり、そこはまだ不明な点が多く、モジュライの構成と同時進行で代数構造の考察も行う必要がある。

次年度使用額が生じた理由

次の使用計画に詳しく書くように、本研究代表者は国際学会「East Asian Symplectic Conference」を隔年で開催しており、日本からの参加者、特に若手を中心に旅費の援助を行っている。次年度使用額が生じた理由は次年度がちょうどその開催の年であり、基金であることを活用し繰り越しを見越して本年度の使用額を計画的に押さえたためである。援助を行うおおよその人数（予想）と次年度の支給額を鑑み次年度使用額を残額の通りとした。

次年度使用額の使用計画

本研究代表者はソウル国立大学（韓国）のCheol-Hyun Cho教授と国立成功大学（台湾）のRiver Chiang准教授と共に国際学会「East Asian Symplectic Conference」を隔年で開催している。次年度の2017年はちょうどその開催の年にあたり、2017年10月29日から2017年11月4日の七日間に渡り中国の四川大学において開催が予定されている。その際、日本からの参加者、特に若手を中心に旅費の援助を行う必要があり、本年度の未使用分はそれに当てられる予定である。援助を行う人数はおよそ3,4人を想定している。

研究成果

• [学会発表] Symplectic displacement energy for exact Lagrangian immersions (2016)
  • 著者名/発表者名: Manabu Akaho
  • 学会等名: International Conference for the 70th Anniversary of Korean Mathematical Society 2016 KMS Annual Meeting
  • 発表場所: Seoul National University
  • 年月日: 2016-10-20 – 2016-10-23
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Symplectic displacement energy for exact Lagrangian immersions (2016)
  • 著者名/発表者名: Manabu Akaho
  • 学会等名: Workshop on Symplectic Geometry and Physics
  • 発表場所: 東北大学
  • 年月日: 2016-05-23 – 2016-05-27
  • 国際学会 / 招待講演