非コンパクトなシンプレクティック多様体における安定曲線モジュライの倉西構造の構成

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04850
• 研究機関: 首都大学東京
• 研究代表者: 赤穂 まなぶ 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (30332935)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: シンプレクティック多様体 / ラグランジュ部分多様体 / フレアーホモロジー / モースホモロジー

研究実績の概要

本年度も引き続き凹型のエンドを持つ非コンパクトなシンプレクティック多様体における擬正則曲線のモジュライ空間について研究を行った。特に本年度は境界付き多様体におけるモース理論に関して、モース関数の臨界点を結ぶ負の勾配ベクトル場の積分曲線（もしくはtree）のモジュライ空間について考察を行った。これは上記の非コンパクトなシンプレクティック多様体内のルジャンドルエンドをもつ非コンパクトなラグランジュ部分多様体に境界値を持つ擬正則円盤のモジュライ空間のトイモデルとなっている。本研究代表者はこれまで境界付き多様体のモースホモロジーの研究に関して、以下の結果を得ていた。まず境界付き多様体上に勾配ベクトル場が境界に沿うようなリーマン計量とモース関数を与える。するとこの場合多様体の内部だけでなく境界上にも臨界点が現れるが、特に境界上の臨界点には負の勾配ベクトル場が流れ込むもの（＋型）と涌き出すもの（－型）の二つのタイプが現れる。そしてこのような設定のもとで臨界点を結ぶ負の勾配ベクトル場の積分曲線のモジュライ空間を考えと、閉多様体の場合と異なる以下のような現象が起こりうる。モース指数の差が2の内部の臨界点p,qを結ぶ積分曲線の列で境界に向けて発散するものがあるとすると、その極限にpと＋型の臨界点r_+を結ぶ積分曲線と、r_＋と－型の臨界点r_－を結ぶ境界上の積分曲線とr_－とqを結ぶ積分曲線の3本の積分曲線に収束するようなものが出現する。一方、積分曲線の定義域は実数直線Rであり、R上の3点x<y<zの配位空間を考え、この配位空間における発散列を考える。本年度はこの配位空間の発散列と積分曲線の発散列の極限の差異について考察を行った。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

まず実数直線R上に異なる2点x<yの配位空間のを考える。そしてxとyの距離が離れて行くときの極限を考え、配位空間の境界を構成する。するとこの配位空間の境界の点はR上にxを乗せたものとRの上にyを乗せたものの組と見なすことが出来る。同様にR上の相異なるn個の点の配位空間を考え、その境界を構成する。これはmetric treeもしくは種数0の点付きリーマン面のモジュライ空間のコンパクト化に対応している。問題はこの配位空間のコンパクト化の境界と、先述の境界付き多様体上のモース理論における勾配ベクトル場の積分曲線のモジュライ空間のコンパクト化の境界が一見食い違って見えるということである。このことを少し説明すると、R上の相異なる3点x<y<zの配位空間の場合、z-yの逆数をs、y-xの逆数をtとしたとき配位空間のコンパクト化はC={(s,t)|s≧0,t≧0}となる。一方、3点x<y<zを乗せたRから境界付き多様体上のモース関数の内部の臨界点p,qを結ぶ負の勾配ベクトル場の積分曲線の列があったとき、もしyの像が境界に向かって発散するとき、その極限の定義域はCにおける(s,t)=(0,0)の点に対応する。この(s,t)=(0,0)はCにおける余次元が2（つまり角）の点であるが、これを余次元が1（つまり境界）の点と見なせるような処理したいというのが現在の状況である。昨年度はシンプレクティック化への安定写像のモジュライ空間の角の次元の考察から非連結な曲線からの安定写像のモジュライ空間を適当な同値関係で割ったものを扱ったが、この場合も同様な処理が有効ではないかと考えている。

今後の研究の推進方策

今後も引き続き凹型のエンドを持つ非コンパクトなシンプレクティック多様体における安定写像のモジュライ空間についての研究を進める。またそれとともに境界付き多様体上のモース理論、とくにモースホモロジーにおける高次の積構造についての研究を行う。本研究代表者によりこれまで得られた結果の一つに境界付き多様体上のモースホモロジーにおける（2次の）積の構成がある。この場合は境界付き多様体上に3つのモース関数を用意し、各辺が負の勾配ベクトル場の積分曲線になるような勾配Y字グラフのモジュライ空間のコンパクト化を用いた。しかしこの手法を高次の積の構成に拡張しようとすると、各辺が積分曲線になる勾配treeグラフのモジュライ空間のコンパクト化が必要となり、その境界が組み合わせ的に非常に複雑になりそのままでは高次の積を素手で構成することがかなり困難となる。その原因の一つは勾配treeグラグのモジュライ空間のコンパクト化における境界の点に対応する勾配treeグラフの定義域が、treeグラフのモジュライ空間のコンパクト化の角の点に対応することが一つの原因だと思われる。そこで研究の方策として、まずtreeグラフのモジュライ空間のコンパクト化の角を何らかの方法で境界の点と見なせるような機構を見つけたい。そしてもしそのような方法が見つかれば（計算できるかは別として）一気に高次の積を構成することが出来ると期待できる。またそれと平行してルジャンドルエンドをもつラグランジュ多様体のフレアー理論における安定写像のモジュライ空間の構成と、そこから得られる代数構造についても考察を行う。

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額が生じた理由は以下の通りである。本研究代表者はソウル国立大学（韓国）のCheol-Hyun Cho教授と国立成功大学（台湾）のRiver Chiang准教授と共に国際学会「East Asian Symplectic Conference」を隔年で開催している。2017年はちょうどその開催の年にあたり、2017年10月29日から2017年11月4日の七日間に渡り中国の四川大学において開催した。その際、日本からの参加者、特に若手を中心に旅費の援助を行った。当初の予定では援助を行う人数はおよそ3,4人を想定しており、実際も4人であった。ただし開催大学である四川大学側から宿泊施設の提供があったため、旅費の内訳の航空券代と現地滞在費（宿泊費）のうち宿泊費の援助が不要となったため、当初に想定していた援助額より少なく押さえることが出来た。（本研究代表者の宿泊費も支出不要となった。）次年度使用額の使用計画は、2019年2月に京都大学で国際学会「Geometry and Everything」が開催される予定であり、その際に研究打合せを兼ねて海外からの研究者を招聘する際の旅費の援助に使用する予定である。

研究成果

• [学会発表] J-holomorphic curves in symplectic topology (2018)
  • 著者名/発表者名: 赤穂まなぶ
  • 学会等名: 第13回代数・解析・幾何学セミナー
  • 招待講演
• [学会・シンポジウム開催] East Asian Symplectic Conference 2017 in CHENGDU (2017)