| 研究課題/領域番号 |
15K04851
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
大仁田 義裕 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (90183764)
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| 研究分担者 |
加藤 信 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10243354)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 微分幾何学 / 部分多様体 / 調和写像 / ラグランジュ部分多様体 / 対称空間 / 等質空間 / 可積分系 / フレアーホモロジー |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題２年度の今年度は，等径超曲面論に関わるラグランジュ部分多様体，無限次元等径部分多様体，可積分系からの対称空間への調和写像などの研究を推進する一方，研究集会等での研究報告や国内外関連研究者との検討・情報収集，研究交流等を積極的に行った。等径超曲面のガウス像として得られる複素2次超曲面のコンパクト極小(ゆえに単調)ラグランジュ部分多様体に関する研究は，中国・清華大学 Hui Ma教授との共同研究は継続している。そのガウス像のハミルトン安定性問題の非等質な場合の研究のために，クリフォード系から構成されるOT-FKM型等径超曲面の理論の検討を行っており，連携研究者・入江博らが組織する水戸幾何研究会ではレクチャーを行っている。入江，Hui Ma，東北大・宮岡礼子教授との共同研究の等径超曲面のガウス像のHamiltonian non-displaceabilityの研究成果を収めた共著論文は，Bulletin of the London Mathematical Societyから出版された。この結果により，すべての非等質な場合を含むほとんどの場合にHamiltonian non-displaceableであることが分かった。そのFloerホモロジーの研究など取り組んでいる。関連研究者の理科大・小池直之教授とは，ヒルベルト空間内の無限次元等径部分多様体およびコンパクト型対称空間上のHermann作用の軌道の幾何に関して積極的に議論を行った。小池の先行研究に示唆を受けて，大仁田は大学院学生・吉田稔（大阪市立大学M2）との共同研究においてコンパクト型対称空間上Hermann作用の良い性質もった軌道および極小軌道の分類に関する新しい結果を与えた。今年度も韓国・慶北国立大学Young Jin Suh教授研究グループとの共催国際ワークショップを継続して開催，本研究課題を推進した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Hui Ma, 宮岡礼子，入江博との共同研究の結果「等径超曲面のガウス像は，複素２次超曲面のラグランジュ部分多様体として，殆ど全ての場合（相異なる主曲率の個数g=3,4,6で一つ主曲率の重複度が1の場合を除く）にHamiltonian non-displaceableである」は，国際共著論文 H.Iriyeh, H.Ma, R.Miyaoka and Y.Ohnita, Hamiltonian non-displaceability of Gauss images of isoparametric hypersurfaces, Bulletin of the London Mathematical Society 48 (2016) 802-812に出版された。現在，残された場合のHamiltonian non-displaceability問題や等径超曲面のガウス像のFloerホモロジーに取り組んでいる。また，大仁田は院生・吉田との共同研究において小池の与えた条件を満たすコンパクト対称空間上のHermann作用の(全測地的でない)軌道および極小軌道をほぼ完全に決定するという成果を挙げている。小池の与えた条件を満たす軌道は誘導不変計量が正規等質なるなどの内的にも外的にも良い性質もつリーマン等質部分多様体で，今後の研究に示唆的である。本研究課題に関するYoung Jin Suh教授，J.Berndt教授，F.Podesta教授(イタリア・フィレンツェ大学)らの研究グループとの研究連絡・研究交流も推進されている。お茶の水女子大学での国際研究集会に参加、J.Wood教授,M.Svensson教授と研究交流し，無限次元グラスマン模型による有限ユニトン数の調和写像に関する新たな研究の進展を知ることができたのは大変有益で，調和写像と可積分系の理論の本研究課題を鼓舞するものである。
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| 今後の研究の推進方策 |
Hamiltonian non-displaceabilityの結果は，等径超曲面のガウス像のフレアーホモロジーあるいはlifted フレアーホモロジーの非自明性を研究することで得られたものであるが, 残された場合（g=3,4,6で一つの重複度が1の場合。既知の分類結果によって等質）のHamiltonian non-displaceabilityの研究をすることや，g=4およびg=6の場合に，そのガウス像のフレアーホモロジーを具体的に決定する問題は今後も研究を続ける。標準球面の等径超曲面の構造をより深く検討することによって，そのガウス像のフレアーホモロジーや関連の性質の一層の研究を行う。とくに，クリフォード代数の表現によって構成されるOT-FKM型等径超曲面のクラスは殆ど全ての非等質等径超曲面を含み，そのガウス像の幾何学的およびトポロジー的な性質・構造は，興味深く本研究に重要と思われ，徹底的な検討を継続して進める。フレアーホモロジー研究の基礎となる，等径超曲面のガウス像の上の適切なモース関数の探索とそのモースホモロジーの構成に関してMa,宮岡と検討を続ける。また，当初研究計画を踏まえて，連携研究者らと協働して，韓国，ドイツ，イギリス，イタリアなど関連の海外研究者らとの有機的な連携を積極的に構築して，最近新たな成果が挙がっているHermann作用の軌道の分類問題を含めた対称空間内の等質部分多様体の研究，調和写像に関わる可積分系やモジュライ空間，および有限次元および無限次元等径部分多様体の研究を推進する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2017年3月に大阪市立大学で開催の部分多様体の幾何学研究に関する国際ワークショップにF.Podesta教授（イタリア，フィレンツェ大学）の招へいを計画したが，本人の大学公務等のため日程を調整することができず，次年度招聘を検討することにしたため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度（平成29年度）は，8月にドイツでの微分幾何・可積分系分野の国際研究集会参加・研究発表を行うための研究代表者等の旅費に充てる。また，研究代表者が組織して３月に開催予定の部分多様体の幾何学とリー理論に関する国際ワークショップに外国人講演者を招へいする旅費として使用する。
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