| 研究実績の概要 |
エルミート多様体(M,g,J)上の局所共形ケーラー多様体とは基本2次形式HでdHがHとhの外積で書けているような閉1次形式hが存在することである.h(X)=g(A,X)によって決まるベクトル場Aを
リーベクトル場Aといい, Aが正則Killing場になるときMはVaisman多様体と呼ばれる.連結リー群GがMに正則等長変換として推移的に作用しているとき, M=G/Hとなり, Mは等質LcK多様体である.ここでHはコンパクト群.今年度の目的として等質lcK多様体MがいつVaisman多様体になるか,またそのリー群Gを決定しようと試みた.次が得られた結果である.
定理 1.(i)C(G)をGの中心からなるリー部分環とする.h(C(G))が零でなくかつHの正規化群N(H)の商群N(H)/C(G)がコンパクトならばMは等質Vaisman多様体になる.(ii) Mは等質ケーラー多様体上のファイバーがCあるいはS1 x Rであるようなファイバー束である(同時にMは等長的にR x Nであり, Nは等質ケーラー多様体上の等質佐々木多様体である.)リー群G自身が左不変な局所共形
ケーラーVaisman構造をもつとき, GはVaisman lcK 群という.今年度の最後の成果としては次を得た.定理 2.単連結unimodularVaisman 群Gは直積R x Pの形を持ち,Pは次のいずれかである:コンパクト単連結群SU(2),SL(2,R)の普遍被覆群,そしてHeisenberg リー群 Nのmodification N(k,l)のいずれかである.N(k,l)はNとU(n)の半直積N・U(n)の単連結可解部分群である(k+l=n).
さらに連結リー群GがMに等長変換として推移的に作用している等質多様体を調べた.
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