2017 年度実施状況報告書

アフィン接続が与えられた多様体の幾何の多角的研究とその応用

研究課題

研究課題/領域番号	15K04861
研究機関	関西学院大学
研究代表者	黒瀬俊関西学院大学, 理工学部, 教授 (30215107)
研究期間 (年度)	2015-04-01 – 2020-03-31
キーワード	中心アフィン曲線 / 非収束型変形KdV方程式 / ミウラ変換 / 射影平坦多様体 / アフィン接続
研究実績の概要	平成29年度は、中心アフィン平面曲線の運動と、射影平坦多様体の構造の二つのテーマを中心に研究を進めた。１．アフィン平面の曲線を一般線形群の作用の下で考察する中心アフィン平面曲線論は、特殊線形群の作用の下で考察する等積中心アフィン平面曲線論に比べてかなり様相が異なっており基本的な事項でも未知の事が多い。今回の研究では、中心アフィン平面曲線から等積中心アフィン平面曲線への対応で、非収束型変形Korteweg-de Vries (KdV)方程式が付随する中心アフィン平面曲線の運動をKdV方程式が付随する等積中心アフィン平面曲線の運動に移すものを構成した。これは可積分系理論におけるミウラ変換の幾何学化になっており、中心アフィン平面曲線を、特に明示公式や離散化など可積分系的側面から考える上で手がかりになるものと考えられる。２．射影平坦なアフィン接続が与えられた単連結かつ連結な多様体は、展開写像と呼ばれる射影空間への局所射影同値な写像を持つことが知られている。特に、先行する研究により、多様体の次元が３以上の時、与えられたアフィン接続が対称かつ負定値なリッチ曲率を持ち、ある点で測地的完備ならば、その展開写像は単射で、その像は射影空間のある凸集合になることが示されていた。本研究では、逆に射影空間の領域に対して、上に述べた特質を持つアフィン接続の存在を考察し、領域がある種の凸性を持つ場合には、解析的手法および凸錐の理論を用いた幾何的手法の２通りの方法で、同じ特性を持つが異なるアフィン接続が構成できることを示し、その二つの違いについて調べた。さらに、現在は同じ構成法を単なる凸領域に適用した際に得られるアフィン接続がどのような条件を満たすかを調べている。こうして構成されたアフィン接続は、射影平坦多様体の研究において有効な道具となると考えられる。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由平成29年度は、「研究実績の概要」で述べたように、（１）変形KdV方程式が付随する中心アフィン平面曲線の運動と、（２）射影平坦なアフィン接続を持つ多様体の幾何の研究を並行して進め、それぞれにある程度の進展を得た。うち（１）は本研究の主要課題の一つである「アフィン空間内の曲線の運動に現れる可積分系方程式」に関するものであり、これまであまり調べられてこなかった中心アフィン平面曲線に関し一定の成果をあげることができたことから、この課題の研究は順調に進んでいると言える。また、（２）は当初の研究計画では表立ってあげられていなかったテーマであるが、課題の一つである「統計構造を持つ多様体の幾何」とも密接に関わっており、これまでの研究からもアフィン接続を持つ多様体の幾何として欠かせない項目であるとの確信を得た。現在はまだ大きくまとまった成果は得られていないが、本テーマの重要性を認識でき、部分的であるが新たな知見を得られたことから、このテーマについてもある程度順調に進展していると言って良いものと考えている。
今後の研究の推進方策	「現在の進捗状況」で述べたように、本研究はおおむね順調に進展している。したがって、これまで得られた研究成果をよりいっそう発展・充実させる方向で今後の研究を進める予定である。特に、可積分系が付随する曲線の運動はこれまでの研究で最も進展したテーマであるが、今後は応用などを考察することにより、さらに掘り下げていくことができるものと考えている。また、射影平坦なアフィン接続を持つ多様体の幾何は、研究の端緒をつかんだばかりであり、ウェイトをかなりかけて取り組むつもりである。一方、平成29年度に取り組む予定であったガウスの補題型命題が成り立つ幾何構造については研究に十分な時間がとれなかったが、平成30年度からは研究を再開する計画である。以上の方策・計画を遂行するため、研究経費は主としてテーマに関連する諸分野の学会・研究集会への参加、専門家のもとへの訪問ないし招聘、同じ関心を持つ研究者との研究打ち合わせ、関連図書の購入、情報収集・交換のために必要な情報機器の購入などに使用する予定である。
次年度使用額が生じた理由	（次年度使用額が生じた理由）主催者の一人となった研究集会において、アブストラクト集の印刷費を負担したところ、実際の印刷費が当初の見込み額を下回ったため、その余剰として次年度使用額が生じた。（使用計画）次年度使用額は多額ではないので、平成30年度の直接経費の主要な使途である「旅費」に繰り入れて使用する計画である。