| 研究課題/領域番号 |
15K04865
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| 研究機関 | 山形大学 |
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研究代表者 |
松田 浩 山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | コード代数 |
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| 研究実績の概要 |
３次元球面内の結び目に対してEkholm氏、Etnyre氏、Ng氏、Sullivan氏は余球面束を使ったフレアー理論を展開することにより、結び目接触ホモロジー群を定義していた。さらにNg氏は結び目接触ホモロジー群を組み合わせ的に定義することに成功していた。また結び目接触ホモロジー群の定義に結び目のメリディアンの情報を取り込むことにより３次元球面内の結び目に対する完全不変量が得られることがEkholm氏、Ng氏、Shende氏により証明された。
上記の不変量は３次元球面内の結び目に対する不変量であるがこの不変量の構成を４次元球面内の２次元結び目に対して拡張することを本研究で実行している。昨年度はNg氏の組み合わせ的な定義を４次元球面内の２次元結び目に対して拡張し２次元結び目の表示方法の１つである３次元球面への射影図を使うことによりコード代数（結び目接触ホモロジー群の０次元部分）を構成した。この不変量はスパン三葉結び目と２ツイストスパン三葉結び目を区別しないという結果を昨年度に得ていたが、この結果は結び目接触ホモロジー群の高次元部分を定義するために必要であることが今年度分かった。またこの表示方法を使った１、２、３、４次元接触ホモロジー群の構成についての予想をたてることができた。
４次元球面内の２次元結び目の表示方法の１つとして切り口を使った３次元球面内のグラフによる表示方法が知られている。この表示方法を使って２次元結び目の不変量、コード代数（結び目接触ホモロジー群の０次元部分）、を定義することができた。この不変量はスパン三葉結び目と２ツイストスパン三葉結び目を区別することが分かった。またこの表示方法を使った１、２次元の結び目接触ホモロジー群の構成についての予想をたてることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
３次元球面内のグラフによる２次元結び目の表示方法を使うことにより２次元結び目の不変量を構成することができた。この不変量はスパン三葉結び目と２ツイストスパン三葉結び目を区別できる程度に強い不変量であることが分かった。
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| 今後の研究の推進方策 |
３次元球面への射影図による２次元結び目の表示方法を使った結び目接触ホモロジー群の高次元部分の構成についての予想が成り立つことを証明する。また切り口を使った３次元球面内のグラフによる２次元結び目の表示方法使った結び目接触ホモロジー群の高次元部分の構成についての予想が成り立つことを証明する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
得られた結果の細かい部分を確認するため論文の執筆を優先させていた。そのため研究発表旅費の使用を削減した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
証明の細かい部分の確認が終わったので得られた成果を発表するため研究発表旅費のために使用する。
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