へガードフレアー理論を用いた結び目と写像類群の研究

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04865
• 研究機関: 山形大学
• 研究代表者: 松田 浩 山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: ホモロジー群

研究実績の概要

３次元球面内の結び目に対してEkholm氏、Etnyre氏、Ng氏、Sullivan氏は余球面束を使ったフレアー理論を展開することにより、結び目接触ホモロジー群を定義していた。さらにNg氏は結び目接触ホモロジー群を組み合わせ的に定義していた。また結び目接触ホモロジー群の定義に結び目のメリディアンの情報を取り込むことにより３次元球面内の結び目に対する完全不変量が得られることがEkholm氏、Ng氏、Shende氏により証明されていた。
上記の不変量は３次元球面内の結び目に対する不変量であるが、同様の構成を４次元球面内の２次元結び目に対して拡張することを本研究で実行している。２次元結び目の表示方法の１つとして３次元球面への射影図を使った表示方法が知られている。この表示方法を使った研究について、３重点の周りで鎖群の境界写像の定義について考察し、ホモロジー群を構成するために必要な条件、境界写像を２回連続して実行すると消滅する、を満たす境界写像を構成することができた。現在はこの定義で不変量を構成できることを証明するためRoseman移動との関係について考察している。
４次元球面内の２次元結び目の表示方法の１つとして切り口を使った３次元球面内のグラフによる表示方法が知られている。この表示方法を使った研究について０、１、２次元の結び目接触ホモロジー群を構成し、吉川移動との関係について考察した。その結果 構成したホモロジー群は２次元結び目の不変量であることを証明できた。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

３次元球面内のグラフによる２次元結び目の表示方法を使うことにより２次元結び目のホモロジー不変量を構成することができた。

今後の研究の推進方策

３次元球面への射影図による２次元結び目の表示方法を使った結び目接触ホモロジー群の高次元部分が不変量であることの証明を完成させる。

次年度使用額が生じた理由

得られた結果の詳細を確認し成果を発表するため論文の執筆を優先している。その結果 研究発表旅費の使用を削減した。詳細の確認、推敲が終われば成果を発表するため研究発表旅費として使用する。