研究課題/領域番号 |
15K04865
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研究機関 | 山形大学 |
研究代表者 |
松田 浩 山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
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研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2021-03-31
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キーワード | ホモロジー群 |
研究実績の概要 |
3次元球面内の結び目に対してEkholm氏、Etnyre氏、Ng氏、Sullivan氏は余球面束を使ったフレアー理論を展開することにより、次数付き微分代数を構成し、結び目の接触ホモロジー群を定義していた。さらにNg氏は結び目接触ホモロジー群の組合せ的な定義を与えていた。また結び目接触ホモロジー群の定義に結び目のメリディアンの情報を取り込むことにより3次元球面内の結び目に対する完全不変量を得られることがEkholm氏、Ng氏、Shende氏により示されていた。 上記の不変量は3次元球面内の1次元結び目に対する不変量であるが、同様の構成を4次元球面内の2次元結び目に対して拡張することを本研究で実行している。2次元結び目の表示方法の1つとして3次元球面への射影図を使う表示方法が知られている。この表示方法を使って、2次元結び目に対して次数付き微分代数を構成し、接触ホモロジー群の類似物を構成することができた。この表示方法を使った研究においては、鎖群の微分写像が3重点の周りで自然に4種類構成されている。そのため次数付き微分代数も4種類構成されている。2ツイストスパン三葉結び目と呼ばれる2次元結び目に対しこれら4種類の次数付き微分代数を具体的に計算し、少なくとも3種類の次数付き微分代数は異なる情報を持っていることを示した。この計算のために次数の情報を落とした特性代数を構成し、有限体への写像の個数を計算した。0ツイストスパン三葉結び目には3重点を持たない3次元球面への射影図が存在するため4種類の次数付き微分代数は全て同型であることがわかる。これらのことから本研究で構成した次数付き微分代数は2ツイストスパン三葉結び目と0ツイストスパン三葉結び目を区別できることがわかった。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
3次元球面への射影図を使った2次元結び目の表示方法を使うことで構成した2次元結び目の次数付き微分代数は、2ツイストスパン三葉結び目と0ツイストスパン三葉結び目と呼ばれる具体的な2次元結び目を区別するために使えることがわかった。
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今後の研究の推進方策 |
より多くの2次元結び目に対して本研究で構成した2次元結び目の次数付き微分代数の具体的な計算を実行する。また2次元結び目の次数付き微分代数がなぜ自然に4種類存在するのかについてフレアー理論の観点からと組合せ的な観点から考察する。
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次年度使用額が生じた理由 |
参加を予定していた学会がコロナウイルスの感染拡大防止を目的に中止となったため次年度使用額が生じた。オンラインで開催されることが増えた研究集会に参加するための設備を整備するために使用することを計画している。
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