| 研究課題/領域番号 |
15K04869
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| 研究機関 | 上越教育大学 |
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研究代表者 |
斎藤 敏夫 上越教育大学, 大学院学校教育研究科, 准教授 (90397670)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ３次元多様体 / 無限複体 / 結び目 / Heegaard分解 / デーン手術 / 橋指数 |
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| 研究実績の概要 |
１．３次元多様体の一般Heegaard分解に対する複雑度を研究するため，Heegaard曲面がcriticalであるための十分条件として重要とされる円板複体(disk complex)の分割，便宜上ここではBachman分割とよぶ，に対して，その多様性についての研究を行った。特に，当該年度においては，最小のBachman分割に焦点を当て，ある特定の条件を満たすcriticalなHeegaard曲面における最小のBachman分割を決定した。
２．2017年にGabrovsekにより作成されたトーラス体における結び目表(to appear in Mediterr. J. Math.)には，トーラス体内において６交点以下の素な結び目がすべて掲載されている。これらの結び目に対して，４個の例外を除いて，種数１の橋指数を決定した。また，いくつかの結び目族に対しては，トーラス体内における種数１の橋指数と，デーンの埋め合わせにより得られるレンズ空間内における種数１の橋指数との差異についての研究を行った。
３．矯飾的手術予想の総合的な解決へ向けて市原一裕氏(日本大学)と共同研究を行った。当該年度では，良い性質を有するダブルツイスト結び目族に対して，デーン手術により得られる３次元多様体のSL(2,C) Casson不変量を調べることにより，当該不変量がある意味では有効に機能することを確認することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要で挙げたもののうち，１．については研究論文を執筆中である。２．については現時点で４個の例外が残っているものの，想定よりも順調に解明できていることから，本研究課題の進捗状況は「おおむね順調に進展している」と判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
一般Heegaard分解の複雑度として重要な鍵となるBachman分割についての考察を一段と深めるとともに，３次元多様体の分岐曲面に対する理解をも深めるため，セミナーや勉強会の開催，当該分野の研究者への訪問等を通して，専門知識の提供を受ける予定である。
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